Hola franma. En general, cuando necesitas probar un resultado para todos los naturales el método a usar es inducción, así que vas bien encaminado. No veo que hayas demostrado algo con lo que escribiste, y seguro por eso es tu pregunta, porque no te convence.
La proposición sería: \( p(n):\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^n<n^n \) para \( n\in S \).
- Primero, es fácil verificar que el resultado es válido para \( n=1 \), así que el conjunto solución tiene un primer elemento.
El conjunto donde buscas probar que la proposición es verdadera es el conjunto \( S=\{1,2,3,\dots\} \).
- Hipótesis de inducción: Suponemos que el resultado es cierto para \( n\in S \), esto quiere decir que suponemos que la siguiente desigualdad se cumple:
\( \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^n<n^n \).
- Tesis de inducción: queremos probar que \( n+1\in S \), esto es, queremos demostrar que
\( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n<(n+1)^{n+1} \).
Ahora comenzamos a demostrar:
\( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n=n^n+\sum_{k=0}^{n-1}k^n \)
\( <n^n+n^n \) (acá usamos la hipótesis de inducción que supusimos se cumple)
\( <2n^n \)
\( <(n+1)(n+1)^n \) (porque \( n+1\geq 2 \) y \( n^n<(n+1)^n \))
\( =(n+1)^{n+1} \)
El único paso complicado es el penúltimo. Pero como habíamos llegado en el antepenúltimo a que \( \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^n<2n^n \) , sabíamos que debíamos probar que \( 2n^n<(n+1)^{n+1} \).