Pero el límite al que me refería yo me has dicho que era de tipo o y también es equivalente a la hipótesis de Riemann si usamos \( \alpha=1/2 \). Supongo que hay distintas formas de enunciarlo y por tanto no se tienen porqué ajustar a la clasificación que yo pretendía.
Resulta difícil seguirte cuando usas paráfrasis para referirte supuestamente a expresiones matemáticas. Si te refieres a este límite:
\( \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\psi(x)-x}{x^{1/2}}=0 \)
¿cómo sabes que es equivalente a la hipótesis de Riemann? Hasta donde yo sé, la hipótesis de Riemann equivale a que
\( \psi(x)-x=O(\sqrt x \log^2x) \),
que es más débil que el límite que propones, si es que te refieres a ése.
También me pierdo en que si la condición o es más fuerte que O, que esta última sea más precisa y de ella se deduzcan estimaciones de tipo o. Creí entender que la estimación o implicaba la O pero no al revés.
Sí, eso es cierto, pero lo que quiero decir es que de una estimación como
\( \psi(x)-x=O(\sqrt x \log^2x) \),
puedes deducir trivialmente
otras de tipo \( o \) (no la misma cambiando O por o) como
\( \psi(x)-x=o(x^{1/2+\epsilon}) \),
mientras que de una estimación de tipo o puedes deducir, obviamente, que se cumple la misma estimación con O en vez de o, pero eso es no decir nada. Lo que no puedes sacar de ahí es una estimación de tipo O que no se cumpla con o.
Dicho de otro modo: si encuentras que \( f(x)=o(g(x)) \) estás diciendo que "te has pasado" al tratar de estimar la convergencia de \( f \), pues sólo estás diciendo que es más rápida que la de \( g \). En cambio, si tienes una estimación de tipo \( f(x)=O(g(x)) \) que no se cumple con \( o \), estás diciendo que \( g \) da una idea más fiel sobre cómo converge \( f \).
Si hay algún apartado en tus libros o en otras referencias donde esto se explica un poco a un nivel no muy complicado no dudes en decírmelo.
Pues tienes algo sobre eso en la sección 2.2.
