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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Mensaje iniciado por: SocráticoMayeutico en 01 Junio, 2014, 07:45 pm

Título: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: SocráticoMayeutico en 01 Junio, 2014, 07:45 pm
Buenas tardes:

Estaba esta tarde leyendo el libro "el cerebro de Broca" de Carl Sagan, y en un momento afirma "existe una aritmética, perfectamente razonable y autoconsistente desde el punto de vista lógico, en la que dos y dos no son cuatro".

No conozco esa aritmética. ¿Podeis explicarme de que aritmética se trata? Estaré muy agradecido por cualquier ayuda.

Un saludo
Título: Re: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: ingmarov en 01 Junio, 2014, 08:28 pm
No se a que se refiere el autor. Pero me imagino que esto se puede dar dependiendo de la base numérica que utilicemos.
Por ejemplo si utilizamos números binarios tenemos que 1+1=10
si decidieramos usar una base que estuviera compuesta solo de 0,1,2,3 entonces la suma de 2+2=10
Título: Re: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: Fallen Angel en 01 Junio, 2014, 08:42 pm
Si trabajas sobre \( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \) 2+2=1.
Título: Re: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: SocráticoMayeutico en 01 Junio, 2014, 09:03 pm
Gracias a los dos por la respuesta.

Citar
si decidieramos usar una base que estuviera compuesta solo de 0,1,2,3 entonces la suma de 2+2=10

¿Por qué?¿como funciona esto?

Citar
Si trabajas sobre [\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}] 2+2=1.

Desconozco que tipo de matemática es esa, si me puedes dar una fuente en la que me pueda informar estaré muy agradecido.

Un saludo
Título: Re: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: ingmarov en 01 Junio, 2014, 09:24 pm
Gracias a los dos por la respuesta.

Citar
si decidieramos usar una base que estuviera compuesta solo de 0,1,2,3 entonces la suma de 2+2=10

¿Por qué?¿como funciona esto?

Si en esta base anotamos los quince primeros números tendríamos 0,1,2,3,10,11,12,13,20,21,22,23,30,31,32.
Todos ellos son análogos a nuestros apreciados decimales 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14.
Si te fijas cuando llegamos al mayor número de nuestra base numérica comenzamos a aumentar cifras a la izquierda.
No se si esto te ayuda a entender, sino, te recomiendo estudiar algo de bases numéricas. Lo que escribió Fallen Angel tampoco lo entiendo, esperaré que escriba algo.
Título: Re: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: SocráticoMayeutico en 01 Junio, 2014, 09:39 pm
sí, te he entendido. En la base numérica que pones de ejemplo todas las sucesiones llegan a 3. O sea:

0,1,2,3

Y después ya aparece la primera decena:

10, 11, 12, 13

Y así sucesivamente.

En esa sucesión después del 3 viene el 10, por lo que el 10 es el equivalente de 4. Entonces por eso 2+2=10.

Muchísimas gracias ingmarov  :)
Título: Re: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: ingmarov en 01 Junio, 2014, 10:56 pm
 :) creo que lo has entendido, pero no creo que se le deba llamar "decena" podria ser llamada cuatrena, tetraena; en realidad no lo sé  :banghead:.
Título: Re: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: feriva en 01 Junio, 2014, 11:22 pm

Citar
Si trabajas sobre [\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}] 2+2=1.

Desconozco que tipo de matemática es esa, si me puedes dar una fuente en la que me pueda informar estaré muy agradecido.



 Hola. Mientras viene Fallen Ángel a explicarte puedes ver este vídeo sobre aritmética modular:


Te ayudará a comprender mejor lo que leas después sobre anillos y tal. Ya verás que, en realidad, no es nada de brujas.

 Saludos.


 
Título: Re: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: Fallen Angel en 02 Junio, 2014, 12:32 pm
\( (\mathbb{Z},+,\cdot) \), donde + y · son las operaciones habituales de suma y producto es un anillo conmutativo con unidad.

Todo ideal en este anillo es principal , es decir, es un dominio de ideales principales.(Probarlo es un ejercicio típico cuando uno comienza a estudiar anillos e ideales)

Además, se cumple que \( (a) \ es \ maximal \ \Leftrightarrow \ (a) \ es \ primo, \ a\neq 0 \ \Leftrightarrow \ a \ es \ primo \ no \ nulo  \).

Por tanto dado \( p\in \mathbb{Z} \) un primo, el cociente de \( \mathbb{Z} \) con el ideal generado por p es cuerpo.

El cociente \( \mathbb{Z}/(p) \) (también denotado \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) ó \( \mathbb{Z}_{p} \)) es el conjunto de clases de equivalencia donde dos elementos son equivalentes si, y sólo si, son iguales módulo p.
Esto es, \( \mathbb{Z}/(p)\cong \{1,\ldots ,p-1\} \)

En el ejemplo que puse, p=3 , que es primo , luego el cociente es cuerpo y por tanto podemos hablar de espacios vectoriales sobre él (que no son más que módulos totalmente de torsión cuando son de dimensión finita, pero eso ya es un poco más avanzado) y demás construcciones asociadas a cuerpos.

Además \( 2+2=4\equiv 1 \ (m\acute{o}d \ 3) \).

Si te interesa el tema puedes buscar en internet : Anillos, ideales, aritmética modular, álgebra básica,... y encontrarás un montón de información casi a cualquier nivel y si te surge alguna duda puedes ponerla en el foro a ver si podemos ayudarte  :)

Un saludo!



Título: Re: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: teeteto en 02 Junio, 2014, 04:42 pm
Aquí la pregunta de fondo es: ¿qué es 2? ¿qué es 4? ¿qué es +?

Con las definiciones usuales 2+2=4 indudablemente.

Lo que Sagan dice (entiendo) es que se puede asignar un significado al SÍMBOLO 2, otro al SÍMBOLO 4 y otro al SÍMBOLO + (y a todos los demás) de forma que hay coherencia y 2+2 no es igual a 4.
Título: Re: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: SocráticoMayeutico en 02 Junio, 2014, 04:46 pm
Muchas gracias por todo

veo que el video que pone feriva nos explica un sistema según el cual, 3+110=17

Ahora, a ver si entiendo el siguiente mensaje:

\( (\mathbb{Z},+,\cdot) \), donde + y · son las operaciones habituales de suma y producto es un anillo conmutativo con unidad.

Todo ideal en este anillo es principal , es decir, es un dominio de ideales principales.(Probarlo es un ejercicio típico cuando uno comienza a estudiar anillos e ideales)

Vale, un anillo que incluye el conjunto de numeros enteros, suma y producto. Hasta ahí claro.

Citar
Además, se cumple que \( (a) \ es \ maximal \ \Leftrightarrow \ (a) \ es \ primo, \ a\neq 0 \ \Leftrightarrow \ a \ es \ primo \ no \ nulo  \).

Por tanto dado \( p\in \mathbb{Z} \) un primo, el cociente de \( \mathbb{Z} \) con el ideal generado por p es cuerpo.

Entiendo que a y p aquí son sinónimos, ¿no?

Citar
El cociente \( \mathbb{Z}/(p) \) (también denotado \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) ó \( \mathbb{Z}_{p} \)) es el conjunto de clases de equivalencia donde dos elementos son equivalentes si, y sólo si, son iguales módulo p.
Esto es, \( \mathbb{Z}/(p)\cong \{1,\ldots ,p-1\} \)

Aquí tengo una duda, lamento mis pocos conocimientos, pero: ¿Cómo puede el conjunto de los números enteros dividirse por un numero concreto? Entiendo que puede dividirse un numero por otro, pero...¿un conjunto?

Cuando se resuelvan esas dudas sigo con el resto del planteamiento.

Teeteto: gracias por tu aporte :)
Título: Re: Lógica según la cual dos y dos no son cuatro
Publicado por: Fallen Angel en 02 Junio, 2014, 07:17 pm
1.Si, cambié de letra sin darme cuenta

2.No divido, hago el cociente de un anillo por un ideal suyo
Si \( R \) es un anillo cualquiera e \( I\subseteq R \) es un ideal de \( R \).

Entonces \( R/ I :=\{r+I \ : \ r\in R\} \) es el conjunto de clases de equivalencia de los elementos en \( R \) módulo el ideal \( I \).
 \( r+I=r'+I\Leftrightarrow r-r'\in I \)

En nuestro caso, \( (p) \) denota el ideal generado por \( p \), que son precisamente los múltiplos de p.
Entonces dos elementos definirán la misma clase (su diferencia es múltiplo de p )si dejan el mismo resto al dividir por p , es decir, son congruentes módulo p.
Por tanto, puedo representar todos los elementos en una misma clase por su resto al dividir por p, y es por eso que  \( \mathbb{Z}/(p)\cong \{1,\ldots ,p-1\} \)

Un saludo