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Temas - mxxny

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1
Hola, quiero demostrar lo siguiente:

Sean $$\alpha$$, $$\beta : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ dos curvas parametrizadas por su arco, cuyas funciones curvatura verifican la relación $$ k_{\alpha} (s) = - k_{\beta} (s) $$, $$\forall s \in I \subset \mathbb{R}$$ . Prueba que existe un movimiento rígido inverso, $$M: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$, tal que $$\beta (s)=M(\alpha (s))$$ para todo $$s \in I \subset \mathbb{R}$$.

 ¿Podría alguien ayudarme a plantearlo? No sé siquiera cómo comenzar.
Gracias por adelantado.

2
Hola, tengo el siguiente enunciado:

"Calcular todas las curvas planas (con curvatura positiva) que cumplen que todas las circunferencias osculatrices son concurrentes (tienen un punto en común)."

¿Podría alguien ayudarme a plantearlo?
Muchas gracias por adelantado.

3
Hola, tengo una duda relacionada con el siguiente problema:

En $$\mathbb{R}^{3}$$ se considera el subconjunto $$C$$ definido como:

$$ C=\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}-z=(x-1)^{2}+y^{2}-1=0 \} $$

Se pide comprobar que la curva cuya traza es $$C$$ es plana y calcular el plano que contiene a su traza.

Sé que una curva es plana si se puede contener en un plano, así que he intentado calcular el plano que contiene a $$C$$, para así justificar que efectivamente es plana (tengo una idea intuitiva de que va a ser plana por ser su traza intersección de un paraboloide y un cilindro). Mi duda viene a la hora de calcular el plano que contiene a la curva; mediante las ecuaciones que definen a $$C$$ puedo obtener $$2x=z$$, que es la ecuación de un plano que cumplen todos los puntos de $$C$$. ¿Sería ese un razonamiento correcto para hallar el plano?

Gracias de antemano.

4
Hola, tengo una duda al resolver la siguiente integral, que se me indica que debo resolver mediante cambio a coordenadas cilíndricas:

Me dan los abiertos $$U= \mathbb{R}^{+} \times \left] -\pi, \pi \right[ \times \mathbb{R}$$, $$V= \mathbb{R}^{3} \backslash \{(x,0,z) : x \leq 0 \}$$, y la aplicación $$\phi : U \longrightarrow V$$, definida por $$\phi (\rho, \theta, z)=(\rho \cos {\theta}, \rho \sin{\theta}, z).$$

Se pide el cálculo de la siguiente integral:
$$\int_{E} \sqrt{x^2+y^2+z^2}d(x,y,z)$$, siendo $$E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 3\}$$

He calculado $$\phi^{-1}(E)$$, que me da el conjunto $$\phi^{-1}(E)=\{(\rho, \theta, z) \in U : \rho \leq z \leq 3 \}$$ y he usado el Teorema de Cambio de Variable y el de Fubini para calcular la integral, que me queda:
$$\int_{-\pi}^\pi \int_\rho^3 \int_0^z \rho \sqrt{\rho^2 + z^2} d\rho~dz~d\theta$$


 Ahora bien, la duda me surge a la hora de definir los intervalos de la integral cuya variable es $$\rho$$ en el teorema de Fubini, ¿debería esa integral estar definida en $$[0,z]$$ (como lo está arriba) o bien en $$[0,3]$$, pues z se mueve entre $$\rho$$ y 3?

Muchas gracias de antemano.

5
Hola, quiero saber si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
"Sean $$R_{1}$$, $$S_{1}$$, dos rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$, e igualmente $$R_{2}$$, $$S_{2}$$ otro par de rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$. Entonces existe una isometría $$f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow  \mathbb{R}^3$$, tal que $$f(R_{1})=R_{2}$$ y $$f(S_{1})=S_{2}$$."

¿Podría alguien darme una pista o algún tipo de indicación para llegar a ver si es posible que esa isometría exista o, por el contrario, nunca existirá?

Muchas gracias por adelantado.

6
Hola, me piden que encuentre una aplicación biyectiva $$f:X\longrightarrow\mathbb{S}^{1}$$, donde $$X=[-2,0[\cup[1,9[$$ y $$\mathbb{S}^{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} / x^{2}+y^{2}=1\}$$

Se me ha ocurrido tomar $$g:[0,1[\longrightarrow\mathbb{S}^{1}$$ , $$g(x)=(cos(2\pi x), sen(2\pi x)),  \forall x\in[0,1[$$, que es biyectiva, entonces solo tendría que encontrar otra función, llamémosla $$h$$, tal que $$h:X\longrightarrow[0,1[$$ biyectiva y componer esas dos funciones, de forma que $$f$$ sería la composición de $$h$$ y $$g$$. El problema es que no se me ocurre cómo podría definir esa función $$h$$, ¿podría alguien guiarme para "construir" funciones de este tipo?

¿Podría definirse también una función $$f$$ sin necesidad de componer dos funciones? En tal caso, ¿cómo se haría?

Gracias por adelantado.

7
Topología (general) / ¿Es la siguiente topología de Hausdorff?
« en: 15 Diciembre, 2020, 06:58 pm »
Hola, me gustaría que alguien me ayudase con el siguiente problema:

Sea $$X=\mathbb{R}\cup{\left\{\alpha\right\}}$$, donde $$\alpha\not\in\mathbb{R}$$ y se considera en $$X$$ la topología T, de la que conocemos una base $$\beta$$ dada por

$$\beta=\left\{{(a,b) / a,b\in\mathbb{R}, a<b}\right\} \cup{\{(-\epsilon,0)\cup{\{\alpha\}\cup{(0,\epsilon)\}}}}$$

Quiero ver si esta topología es de Hausdorff (T2).

Yo he llegado a la conclusión de que no lo es, pues para que sea de Hausdorff, si tengo dos puntos $$x$$ e $$y$$ distintos, existe algún entorno $$U$$ de $$x$$ y algún entorno $$V$$ de $$y$$ tales que $$U\cap{V}=\emptyset$$ y esto nunca podrá pasar en esta topología, ya que todo entorno de un punto contiene un abierto que contiene a ese punto y todo abierto contiene algún abierto básico que también contendrá al punto en cuestión, por lo que existirán $$B_{1}$$ y $$B_{2}$$, abiertos de la base $$\beta$$ tales que $$x\in B_{1}\subset{U}$$ e $$y\in B_{2}\subset{V}$$ y $$B_{1}\cap{B_{2}}\neq\emptyset$$, pues $$\{\alpha\}\subset{B_{1}}$$ y $$\{\alpha\}\subset{B_{2}}$$, por lo que $$U\cap{V}\neq\emptyset$$ para todo $$U$$ y $$V$$ entornos de $$x$$ e $$y$$.

¿Es correcto este razonamiento?
Muchas gracias de antemano.

8
Dada la afirmación:
"La aplicación afín $$f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}$$ dada en coordenadas respecto de un sistema de referencia afín no euclídeo $$\mathscr{R}$$ como
$$f\begin{pmatrix}{s}\\{t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{s}\\{t}\end{pmatrix}$$
no es una isometría."
Me piden razonar si es verdadera o falsa.

Lo que yo he pensado es:
Como $$f$$ está definida en $$\mathbb{R}^{2}$$, tanto en el dominio como en el codominio, puedo tomar la distancia usual y aplicarla sobre dos puntos cualesquiera diferentes de $$\mathbb{R}^{2}$$, por ejemplo, $$(0,0)$$ y $$(1,1)$$, entonces obtengo que $$f(0,0)=(1,-1)$$ y $$f(1,1)=(4,2)$$ y la distancia entre $$(0,0)$$ y $$(1,1)$$ es distinta a la distancia entre $$(1,-1)$$ y $$(4,2)$$, por lo que $$f$$ no conserva las distancias y por tanto no es isometría. Concluyo que la afirmación es verdadera.

¿Podría alguien decirme si este razonamiento es correcto?
Muchas gracias antemano y un saludo.

9
Hola, tengo que demostrar lo siguiente:
Sea \(  p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ x \rightarrow p(x)=ax^{2n} + q(x)  \) con \( a \in \mathbb{R}^{+}, \ n \in  \mathbb{N}  \) y \(  q  \) un polinomio de grado menor o igual que \(  2n-1  \). Probar que existe \(  min_{x \in \mathbb{R}} \ p(x)  \).

¿Alguien podría darme una pista de cómo empezar?
Gracias por adelantado.

10
Hola, tengo que demostrar lo siguiente:
Sea \(  p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , x \rightarrow p(x)=ax^{2}+bx+c \ , a \in \mathbb{R} ^ {+}.   \) Prueba que existe  \(  \min_{x \in \mathbb{R}} \ p(x) .  \)
¿Alguien podría ayudarme? Gracias de antemano.

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