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Mensajes - mxxny

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1

No estoy seguro de que quieres decir con construir \( A \). Esa matriz depende de los vectores tangentes y normales de cada curva en el punto; en todo caso se podría poner en función de ellos pero no es necesario.

Spoiler
Sería \( A=CB^{-1} \) donde \( B,C \) son repectivamente las matrices cuyas columnas son los \( T \) y \( N \) de las curvas \( \alpha \) y \( \beta \) en el punto \( s_0 \).

Además dado que son una base ortonormal, \( B^{-1}=B^t \).
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Sí, me refería a eso, ahora lo tengo claro. Muchas gracias de nuevo.

2
Hola, muchas gracias por las indicaciones, Luis Fuentes. En el paso 2 (construir el movimiento) he podido llegar a lo siguiente:

He considerado el valor fijo $$ s_{0} \in I $$y los puntos en las correspondientes curvas $$\alpha (s_{0})$$ y $$\beta (s_{0})$$ y las referencias de Frenet asociadas a cada una de las curvas en ese punto: $$ \{ T_{\alpha} (s_{0}), N_{\alpha} (s_{0}) \} $$ y $$ \{ T_{\beta} (s_{0}), N_{\beta} (s_{0}) \} $$.

Para construir el movimiento rígido, consideramos $$A$$ la matriz correspondiente a una simetría, que será la parte lineal del movimiento y cumplirá que:

$$A \in SO(2)$$,    $$A(T_{\alpha} (s_{0}))=T_{\beta} (s_{0})$$,    $$A(N_{\alpha} (s_{0}))= - N_{\beta} (s_{0})$$

de modo que $$ k_{\beta} (s_0) = <T'_{\beta} (s_{0}), N_{\beta} (s_{0})> = <A(T'_{\alpha} (s_{0})), -A(N_{\alpha} (s_{0}))> = - <T'_{\alpha} (s_{0}), N_{\alpha} (s_0)> = -k_{\alpha} (s_0) $$.

Y tomamos la traslación que viene dada por el vector $$x= \beta (s_{0}) - A(\alpha(s_0))$$

Así, el movimiento rígido inverso $$M$$ resultante quedaría: $$M: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, M(p)=Ap+x $$.

¿Sería esto correcto?

P.D.: No sé cómo construir la matriz $$A$$ pero tampoco sé si sería realmente necesario construirla para la resolución del ejercicio.





3
Hola, quiero demostrar lo siguiente:

Sean $$\alpha$$, $$\beta : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ dos curvas parametrizadas por su arco, cuyas funciones curvatura verifican la relación $$ k_{\alpha} (s) = - k_{\beta} (s) $$, $$\forall s \in I \subset \mathbb{R}$$ . Prueba que existe un movimiento rígido inverso, $$M: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$, tal que $$\beta (s)=M(\alpha (s))$$ para todo $$s \in I \subset \mathbb{R}$$.

 ¿Podría alguien ayudarme a plantearlo? No sé siquiera cómo comenzar.
Gracias por adelantado.

4
Ah, ¡claro! Ahora sí lo he entendido por completo. Muchas gracias de nuevo.

5
Muchas gracias, Luis Fuentes, he entendido todo, excepto la parte final, en la que, si $$r'(s) \neq 0$$ entonces la curva deberá ser un punto. No entiendo bien cómo llegamos a esa conclusión, pues el radio de la circunferencia osculatriz y el vector normal van a ser paralelos para todo $$s$$ que tomemos, eso lo entiendo, pero, ¿cómo llegamos a que $$C(s)=r(s)N(s)$$?

Gracias de nuevo.

6
Hola, tengo el siguiente enunciado:

"Calcular todas las curvas planas (con curvatura positiva) que cumplen que todas las circunferencias osculatrices son concurrentes (tienen un punto en común)."

¿Podría alguien ayudarme a plantearlo?
Muchas gracias por adelantado.

7
Muchas gracias por el enlace, Fernando Revilla, me ha sido de utilidad. Con respecto a lo del plano osculador, es un concepto que aún no conozco, pero seguro que me será útil dentro de poco. Un saludo.

8
Perfecto, muchas gracias.

9
Hola, tengo una duda relacionada con el siguiente problema:

En $$\mathbb{R}^{3}$$ se considera el subconjunto $$C$$ definido como:

$$ C=\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}-z=(x-1)^{2}+y^{2}-1=0 \} $$

Se pide comprobar que la curva cuya traza es $$C$$ es plana y calcular el plano que contiene a su traza.

Sé que una curva es plana si se puede contener en un plano, así que he intentado calcular el plano que contiene a $$C$$, para así justificar que efectivamente es plana (tengo una idea intuitiva de que va a ser plana por ser su traza intersección de un paraboloide y un cilindro). Mi duda viene a la hora de calcular el plano que contiene a la curva; mediante las ecuaciones que definen a $$C$$ puedo obtener $$2x=z$$, que es la ecuación de un plano que cumplen todos los puntos de $$C$$. ¿Sería ese un razonamiento correcto para hallar el plano?

Gracias de antemano.

10
¡Muchas gracias a los dos! Me ha quedado mucho más claro.

11
Perdona, robinlambada, ¿podría decirme cuál sería el otro modo de verlo?
Gracias y saludos.

12
Creo que ya lo entendí: en 1) la variable $$z$$ queda libre y $$\rho$$ depende de $$z$$ y en 2) lo estamos haciendo al contrario, ¿es así?

13
Hola, tengo una duda al resolver la siguiente integral, que se me indica que debo resolver mediante cambio a coordenadas cilíndricas:

Me dan los abiertos $$U= \mathbb{R}^{+} \times \left] -\pi, \pi \right[ \times \mathbb{R}$$, $$V= \mathbb{R}^{3} \backslash \{(x,0,z) : x \leq 0 \}$$, y la aplicación $$\phi : U \longrightarrow V$$, definida por $$\phi (\rho, \theta, z)=(\rho \cos {\theta}, \rho \sin{\theta}, z).$$

Se pide el cálculo de la siguiente integral:
$$\int_{E} \sqrt{x^2+y^2+z^2}d(x,y,z)$$, siendo $$E=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 3\}$$

He calculado $$\phi^{-1}(E)$$, que me da el conjunto $$\phi^{-1}(E)=\{(\rho, \theta, z) \in U : \rho \leq z \leq 3 \}$$ y he usado el Teorema de Cambio de Variable y el de Fubini para calcular la integral, que me queda:
$$\int_{-\pi}^\pi \int_\rho^3 \int_0^z \rho \sqrt{\rho^2 + z^2} d\rho~dz~d\theta$$


 Ahora bien, la duda me surge a la hora de definir los intervalos de la integral cuya variable es $$\rho$$ en el teorema de Fubini, ¿debería esa integral estar definida en $$[0,z]$$ (como lo está arriba) o bien en $$[0,3]$$, pues z se mueve entre $$\rho$$ y 3?

Muchas gracias de antemano.

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Hola

He hecho lo que ha dicho y sigue sin funcionar. El navegador que uso es Chrome y el sistema operativo Windows 10.
Gracias.

Vuelve a intentarlo. Me llama la atención; es un error que salía a veces. Pero en ese caso afectaba a todos los usuarios. Algo raro hay. ¿Seguro que has borrado el caché y el historial y luego cerrado el navegador y vuelto a entrar?.

Si sigue sin funcionar prueba en el mismo dispositivo con otro navegador. Edge, por ejemplo, que supongo que lo tendrá instalado.

Saludos.
Hola de nuevo, lo he abierto tras haber cerrado el navegador y ya me funciona bien. Problema solucionado. Muchísimas gracias.

15
Hola.
Hola

  ¿Qué sistema operativo y que navegador usas?.

 Prueba a borrar el historial y el caché del navegador. Luego vuelve a entrar.

Saludos.

He hecho lo que ha dicho y sigue sin funcionar. El navegador que uso es Chrome y el sistema operativo Windows 10.
Gracias.

16
Hola, yo soy la persona que tiene el problema, puedo iniciar sesión en el foro y publicar mensajes, pero no me aparece la página principal con los temas del foro, en su lugar me aparece este mensaje:


La única forma de ver los temas es mediante la pestaña "Nuevos temas no leídos" o bien mediante el link directo al tema en cuestión. Tampoco me es posible, por tanto, abrir nuevos temas.

17
Hola

Gracias, Luis Fuentes. Entonces la respuesta sería que puedo definir esa isometría siempre que la distancia entre $$R_{1}$$ y $$S_{1}$$ sea igual a la distancia entre $$R_{2}$$ y $$S_{2}$$, en caso contrario, f no sería una isometría, pues no se conservarían las distancias existentes entre ambas rectas y sus imágenes al aplicar f, ¿verdad?

No. Cuidado. Si las distancias NO son iguales desde luego no se puede definir la isometría; pero la distancia podría coincidir y aun así tampoco existir la isometría. Piensa por ejemplo dos pares de rectas a la misma distancia entre si, pero unas paralelas y otras perpendiculares: las isometrías conservan ángulos.

En realidad para contestar a la pregunta tal como está planteada: simplemente tienes que decir que es FALSA y dar un ejemplo donde falle (el que te comenté de rectas a distintas distancias).

Decir que condiciones adicionales hay que exigir para garantizar la existencia de esa isometría es más sútil (más completo también) que simplemente decir si esa afirmación es verdadera o falsa.

Esas condiciones serían (si no me equivoco) estar a la misma distancia y que sus vectores directores formen el mismo ángulo. Pero esto habría que justificarlo con un poco de cuidado.

Saludos.

Perfecto, ahora lo entiendo, muchas gracias por la explicación.

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Gracias, Luis Fuentes. Entonces la respuesta sería que puedo definir esa isometría siempre que la distancia entre $$R_{1}$$ y $$S_{1}$$ sea igual a la distancia entre $$R_{2}$$ y $$S_{2}$$, en caso contrario, f no sería una isometría, pues no se conservarían las distancias existentes entre ambas rectas y sus imágenes al aplicar f, ¿verdad?

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Hola, quiero saber si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
"Sean $$R_{1}$$, $$S_{1}$$, dos rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$, e igualmente $$R_{2}$$, $$S_{2}$$ otro par de rectas que se cruzan en $$\mathbb{R}^3$$. Entonces existe una isometría $$f: \mathbb{R}^3 \longrightarrow  \mathbb{R}^3$$, tal que $$f(R_{1})=R_{2}$$ y $$f(S_{1})=S_{2}$$."

¿Podría alguien darme una pista o algún tipo de indicación para llegar a ver si es posible que esa isometría exista o, por el contrario, nunca existirá?

Muchas gracias por adelantado.

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¡Muchas gracias! ¿Podrías explicarme cómo has llegado a obtener esas funciones?

Hola, inicialmente yo quería que $$h$$ fuera de $$[-2,0)\cup [1,9)$$ en $$[0,2\pi)$$.
Para ello, con una recta se lleva, por ejemplo, $$[-2,0)$$ en $$[0,\frac{\pi}{2})$$. Con otra, $$[1,9)$$ en $$[\frac{\pi}{2},2\pi)$$.
Como habías propuesto $$(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$$, las imágenes de las rectas que obtuve las dividí entre $$2\pi$$ para que cuadrara.

Dibuja $$h$$ si quieres.

Ya lo veo, muchas gracias otra vez.

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