\( \Rightarrow\\ \))
Supongamos que G es un bosque, tomemos cualquier subgrafo no vacío H y construyamos la siguiente sucesión de vértices de H:
\( \displaystyle
\left\{\begin{array}{l}
x_1\in H\\
x_{n+1}\left\{\begin{array}{l l}
\in\mbox{Hom}_H(x_n,-)-\{x_{n-1}\}&\mbox{si }\mbox{Hom}_H(x_n,-)-\{x_{n-1}\}\neq\emptyset\\
=x_n &\mbox{si }\mbox{Hom}_H(x_n,-)-\{x_{n-1}\}=\emptyset
\end{array}\right.\end{array}
\)
(Nota: Entiéndase \( \mbox{Hom}_H(x,-):=\{y\in H/(x,y)\in\mbox{Hom}(H)\} \), es decir, el conjunto de todos los vértices vecinos de x en H.)
Como el grafo H es finito existen \( k_0<k_1 \) tales que \( x_{k_0}=x_{k_1} \). Si \( (x_{k_1-1},x_{k_1})\in\mbox{Hom}(H) \) entonces...
\(
\xymatrix@1{
{x_{k_0}} \ar[r]& {x_{k_0+1}} \ar[r] & \ldots \ar[r] & {x_{k_1-1}} \ar@(ul,ur)[lll]
}
\)
... es un ciclo, lo que contradice nuestras hipótesis.
Dada la forma en que construimos la sucesión, lo anterior no sucede sólo si \( \mbox{Hom}_H(x_{k_1-1},-)\subseteq \{x_{k_1-2}\} \) y por lo tanto encontramos un vértice de H, \( x_{k_1-1} \), que tiene grado 0 o 1 -tal como queríamos.
