[Proyecto_dos]

Hola Ingmarov, claro lo pongo en Spoiler. Es mejor con látex sí, pero ha sido por cuestión de tiempo, pero ok





Indice del Curso (Dale click a la sección a que quieras ir)

Introducción
Números Ciclotómicos
Unicidad
Conjugaciones
La Norma
UTF p
La División Euclidea
Primos Ciclotómicos
Factorización Unica
Congruencias
Unidades Ciclotómicas
¡La Demostración!
La Aritmética Ideal



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[ingmarov]

Ahora el segundo, completo y corregido.

Spoiler

1). \( p(x)=(x-\eta)(x-\eta')=x^2-(\eta+\eta')x+\eta\cdot\eta'=x^2+x-1 \)
2). \( x_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \)

3). \( \eta=\dfrac{-1{\color{red}\bf +}\sqrt{5}}{2} \)
Lo saqué usando el gráfico de la introducción y sumando gráficamente \( \omega^4+\omega \), se ve fácilmente que debe ser un número real positivo.

4) Lo dejo pendiente, ahora debo salir.
Ahora lo termino, como \( \eta \) es suma de dos complejos conjugados el resultado es \( \eta=2\cdot Re(\omega)=2\cdot Re(\omega^4) \)
Podemos calcular el coseno del argumento de \( \omega \) así

\( cos(2\pi/5)=\dfrac{\frac{\eta}{2}}{|\omega|}=\dfrac{\frac{\eta}{2}}{1}=\dfrac{\eta}{2}=\bf\dfrac{-1{+}\sqrt{5}}{4} \)

[cerrar]

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Introducción
Números Ciclotómicos
Unicidad
Conjugaciones
La Norma
p=p
La División Euclidea
Primos Ciclotómicos
Factorización Unica
Congruencias
Unidades Ciclotómicas
¡La Demostración!
La Aritmética Ideal

[Carlos Ivorra]

No me refería a eso, me expresé mal.

No te expresaste mal. Es razonable llamar \( e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sen\varphi \) fórmula de Euler o relación de Euler, o cualquier nombre parecido, pero yo traté de interpretar tus palabras en el contexto de este hilo.

Quería decir "la fórmula de Euler". Pero no quisiera abundar mucho en esto para no desviarme de la demostración. Si yo tengo:  \( e^{i\varphi} = \cos\varphi+i\sen\varphi\,\,\,\wedge\,\,\,\varphi=\frac{2\pi}{5} \) ,  entonces:  \( \omega=e^{i\frac{2\pi}{5}} \)  y ese exponente de " e " se me atraganta, no sé cómo interpretarlo ni tampoco el papel del número " e " ahí relacionado con  \( \omega \).

Pero es que esa fórmula, aunque es muy sencilla de escribir y de manejar, es en realidad bastante avanzada. Sólo puede entenderse en términos de los desarrollos en serie de Taylor de la función exponencial y de las funciones trigonométricas, pero nada de eso hace falta en nuestro contexto. No sé si la mencionas porque te la has encontrado y te ha llamado la atención o si es que crees que es necesario conocer esa fórmula para entender la expresión trigonométrica de \( \omega \). Si es lo segundo trataré de mostrarte que no hace falta para nada. Pongo la explicación en spoiler para que quien no necesite repasar números complejos pueda saltársela cómodamente:

Forma polar de un número complejo

Un número complejo es de la forma \( z=a+bi \), donde \( a, b \) son números reales. Su módulo es \( |z|=\sqrt{a^2+b^2} \), y se intepreta geométricamente como su distancia al \( 0 \). Si \( |z|=1 \) su situación en el plano está en la circunferencia de centro \( 0 \) y radio \( 1 \) y entonces existe un ángulo \( \varphi \) tal que \( z=\cos \varphi+i\sen\varphi \). Esto es trigonometría básica: \( \varphi \) es el ángulo que forma \( z \) con el semieje real positivo. Cuando \( \varphi=0 \) tenemos \( z=1 \), a medida que aumentamos \( \varphi \) vamos recorriendo la circunferencia y, cuando \( \varphi=\pi/2 = 90^\circ \) tenemos \( z=i \). Cuando \( \varphi=\pi=180^\circ \) hemos llegado a \( z=-1 \) y si \( \varphi=2\pi=360^\circ \) hemos vuelto al principio, a \( z=1 \).

Si \( z \) no tiene módulo 1, pero no es nulo, entonces \( z/|z| \) sí que tiene módulo 1, luego podemos representarlo como \( z/|z|=\cos\varphi+i\sen\varphi \) y en definitiva, todo número complejo no nulo se puede expresar en la forma polar

\( z=\rho(\cos\varphi+i\sen\varphi), \)

donde \( \rho=|z| \) y \( \varphi \) se llaman el módulo y el argumento de \( z \). Notemos que el módulo es único, mientras que el argumento sólo está determinado salvo múltiplos enteros de \( 2\pi \).

Se suele escribir \( \rho_\varphi=\rho(\cos\varphi+i\sen\varphi) \) para representar un número complejo en forma polar, de modo que, por ejemplo, \( i=1_{\pi/2} \), \( -i=1_{3\pi/2} \), etc.

Quizá te has encontrado la fórmula de Euler en la demostración de que el producto de dos números complejos en forma polar puede calcularse como

\( \rho_\varphi\cdot \rho'_{\varphi'}=(\rho\rho')_{\varphi+\varphi'}, \)

es decir, que el módulo del producto es el producto de los módulos y el argumento del producto es la suma de los argumentos. No obstante, esto puede probarse también mediante las relaciones trigonométricas para el coseno y el seno de una suma:

\( \cos(\varphi+\varphi')=\cos\varphi\cos\varphi'-\sen\varphi\sen\varphi',\qquad \sen(\varphi+\varphi')=\sen\varphi\cos\varphi'+\cos\varphi\sen\varphi', \)

las cuales pueden demostrarse geométricamente. Si desarrollas \( \rho(\cos\varphi+i\sen\varphi)\rho'(\cos\varphi'+i\sen\varphi') \) y usas las fórmulas precedentes obtendrás \( \rho\rho'_{\varphi+\varphi'} \).

Con esto es fácil ver que si defines \( \omega= 1_{2\pi/5} \), cuando vas calculando potencias de \( \omega \) obtienes que el módulo es siempre 1 y el argumento se va multiplicando: \( \omega^k=1_{2k\pi/5} \), por lo que sólo llegas al 1 en la quinta potencia: \( \omega^5 = 1_{10\pi/5}=1 \).

[cerrar]

Te señalo un par de errores  tipográficos en tu entrada de ayer que pueden hacer más complicado -para alguien aficionado como yo- entenderte:

Gracias. Ya los he corregido. Las erratas son una plaga. Todo aviso de errata es bienvenido.

Bien, ahora por fin hago un ejercicio:

Si:  \( \eta= \omega+\omega^4 \) , calcular:  \( \eta, \eta^2, \eta^3, \eta^4, \eta^5 \)  de forma reducida.

Como sólo soy un aficionado a las matemáticas (no estudié la carrera) y en cierto modo me siento aquí un poco como representante de lo que sería para un aficionado seguir esta demostración (cosa que no me disgusta), expondré siempre los ejercicios que me dé tiempo hacer en este hilo de una manera deliberadamente poco sofisticada, con objeto de que gente como yo le resulte más fácil seguir todo esto.

No has hecho nada poco sofisticado, sino justo lo que había que hacer. Sólo que parece que hay algo que no has entendido, y no sé exactamente qué es, porque cometes el mismo error repetidas veces. Por ejemplo, cuando calculas \( \eta^2 \), pones correctamente las cinco filas que van debajo de la raya de multiplicación (aunque podrías ahorrarte las filas de ceros, por simplificar), pero luego, debajo de la segunda raya, tendrías que sumar las cinco filas anteriores, pero no sé qué es lo que haces. Por ejemplo, en la primera columna, deberías sumar 1+1=2, pero tú pones un 1. Eso hace que el cálculo de \( \eta^2 \) esté mal y, a partir de ahí, las demás potencias también. Pero repites el mismo error varias veces. En la última fila de cada multiplicación sólo pones ceros o unos, cuando tienes que poner la suma de todos los números que tienes entre las dos rayas horizontales en la columna correspondiente.

Tendrás que volverlas a calcular. Sucede que el cálculo de esas cinco potencias va a ser crucial en una parte de la demostración del UTF5, y van a aparecer también en futuros ejercicios.

Otra cosa que me he dado cuenta ahora y que creo que se puede admitir. Me cuesta mucho poner en código como lo ha hecho Ingmarov y ando escaso de tiempo, así que subo el ejercicio en papel (ok?)

En general las reglas del foro dicen que hay que escribir en LaTeX, pero creo que con las multiplicaciones ciclotómicas podemos hacer una excepción.

La forma reducida que das para \( \eta \) es correcta.

[Carlos Ivorra]

Ahora el segundo.

Es correcto. Para terminar sólo te ha faltado una división entre 2.

Ojo, que me acabo de dar cuenta de que te has dejado un signo menos al resolver la ecuación de segundo grado.

Pero debo insistir en que el cálculo de las potencias de \( \eta \) no son ganas de haceros trabajar, sino que éstas van a ser fundamentales en un paso de la prueba del UTF5 y, de hecho, generalizar la propiedad de estas potencias que vamos a usar a primos arbitrarios es una de las partes más complicadas del argumento general de Kummer.

Si te da pereza calcularlas mediante multiplicaciones sucesivas, siempre puedes usar el binomio de Newton. Si Proyecto_dos lo hace multiplicando, así tendremos dos soluciones alternativas.

[Proyecto_dos]

Hola,

Si desarrollas \( \rho(\cos\varphi+i\sen\varphi)\rho'(\cos\varphi'+i\sen\varphi') \) y usas las fórmulas precedentes obtendrás \( \rho\rho'_{\varphi+\varphi'} \).

Con esto es fácil ver que si defines \( \omega= 1_{2\pi/5} \), cuando vas calculando potencias de \( \omega \) obtienes que el módulo es siempre 1 y el argumento se va multiplicando: \( \omega^k=1_{2k\pi/5} \), por lo que sólo llegas al 1 en la quinta potencia: \( \omega^5 = 1_{10\pi/5}=1 \).

Sí, cuando entiendes la notación polar te das cuenta que es la forma más intuitiva y mejor de utilizar, aunque pueda parecer lo contrario. Muchas gracias por la explicación

No has hecho nada poco sofisticado, sino justo lo que había que hacer. Sólo que parece que hay algo que no has entendido, y no sé exactamente qué es,

No hay misterio, afortunadamente creo haber entendido esta parte. ¿Qué por qué no he sumado los 1s? Pues porque entre tanto cero no los he visto, por eso y por las prisas   

Tendrás que volverlas a calcular. Sucede que el cálculo de esas cinco potencias va a ser crucial en una parte de la demostración del UTF5, y van a aparecer también en futuros ejercicios.


En general las reglas del foro dicen que hay que escribir en LaTeX, pero creo que con las multiplicaciones ciclotómicas podemos hacer una excepción.

Gracias por entenderlo.



Problema 1 (2da parte) . Números ciclotómicos

Spoiler

\( \eta=-\omega^3-\omega^2-1 \)

\( \eta^2=\omega^3+\omega^2+2 \)

\( \eta^3=-2\omega^3-2\omega^2-3 \)

\( \eta^4=3\omega^3+3\omega^2+5 \)

\( \eta^5=-5\omega^3-5\omega^2-8 \)


Multiplicando (si está correcto esto último que he hecho) me he fijado que al obtener la ecuación reducida en todos los casos, al anular  \( \omega^4 \)  anulo  \( \omega \)  también;  es decir que tienen el mismo coeficiente entero. Parecería que puede ser siempre así, esto es que nunca voy a encontrar una expresión  \( a_1\omega \)  para  \( \eta^n \) .. una simple apreciación nada más para dar más vidilla al asunto. Del mismo modo parece que siempre serán iguales los coeficientes  \( a_2\wedge a_3 \)  y que además para los exponentes pares de  \( \eta \)  los coeficientes son todos positivos y para los coeficientes impares, todos negativos.

[cerrar]

Un saludo,

[Carlos Ivorra]

Sí, cuando entiendes la notación polar te das cuenta que es la forma más intuitiva y mejor de utilizar, aunque pueda parecer lo contrario.

La notación polar es muy útil cuando sólo hay multiplicaciones de por medio, pero cuando hay sumas se vuelve inútil.

Ahora los cálculos están perfectos. Eso que has observado de que es más cómodo multiplicar en forma extendida es parte de lo que decía en el hilo sobre "meterse en harina". En general, no es mejor la forma reducida, sino que conviene sumar a todos los coeficientes el número adecuado para lograr el mayor número de ceros o, si no se pueden hacer ceros, para que los coeficientes tengan los menores valores absolutos posibles (es más cómodo operar con números negativos pequeños que con positivos grandes).

También son muy interesantes las conjeturas que has planteado. Continúo en spoiler por si alguien pudiera lamentar leerlas antes de haber tenido ocasión de encontrarlas por sí mismo:

Spoiler

Multiplicando (si está correcto esto último que he hecho) me he fijado que al obtener la ecuación reducida en todos los casos, al anular  \( \omega^4 \)  anulo  \( \omega \)  también;  es decir que tienen el mismo coeficiente entero. Parecería que puede ser siempre así, esto es que nunca voy a encontrar una expresión  \( a_1\omega \)  para  \( \eta^n \) .. una simple apreciación nada más para dar más vidilla al asunto. Del mismo modo parece que siempre serán iguales los coeficientes  \( a_2\wedge a_3 \)

Esa "vidilla" es la esencia de la teoría de números. Esas observaciones son a menudo la punta del iceberg de resultados profundos y la pista que conduce hacia ellos. En este caso lo que hay en el fondo no es muy profundo, pero sí que es relevante, y es algo que voy tratar en el mensaje siguiente. Como veremos, la explicación de los fenómenos que has observado está en que \( \eta \) (y por lo tanto sus potencias también), es un número real. Casi has resuelto ya un ejercicio que iba a proponer en la próxima entrega.

y que además para los exponentes pares de  \( \eta \)  los coeficientes son todos positivos y para los coeficientes impares, todos negativos.

Ésta así de pronto no sabría interpretarla.

[cerrar]

Yo no tengo prisa. Mi idea es subir una nueva entrega cuando hayáis digerido la anterior, para lo cual podéis tomaros todo el tiempo que queráis. Si quieres pensarte el segundo ejercicio, que ya ha resuelto ingmarov, me espero, y si no, esta noche subo otra entrega (salvo que ingmarov me diga que quiere hacer el problema 1 que has hecho tú y que necesita algo más de tiempo, claro). Vamos, que no dudéis en manifestaros sobre a el ritmo al que queráis que vayamos. A mí me es indiferente. Mejor dicho, prefiero ir más despacio y que tengáis tiempo de digerir todo que correr para nada, pero tampoco quiero que os sintáis obligados a hacer algún ejercicio si preferís que vaya adelantando.

[Carlos Ivorra]

La segunda conjetura de Proyecto_dos también es cierta.

Spoiler

Recordemos que \( \eta' = \omega^2+\omega^3 \), de modo que \( \eta = -1-\eta' \) y una simple comprobación muestra que \( \eta'^2 = 1-\eta' \).

Ahora pongamos que \( \eta^n=a+b\eta' \). Entonces,

\( \eta^{n+1}=(a+b\eta')\eta=(a+b\eta')(-1-\eta') = -a-b\eta'-a\eta'-b\eta'^2 \)

Sustituyendo \( \eta'^2 \) por su valor en función de \( \eta' \) y agrupando los coeficientes la conjetura resulta inmediata a partir de la expresión resultante, es decir, si \( a, b \) son ambos positivos, los coeficientes de la potencia siguiente son ambos negativos, y viceversa.

[cerrar]

[Proyecto_dos]

Hola,

Yo no tengo prisa. Mi idea es subir una nueva entrega cuando hayáis digerido la anterior, para lo cual podéis tomaros todo el tiempo que queráis. Si quieres pensarte el segundo ejercicio, que ya ha resuelto ingmarov, me espero, y si no, esta noche subo otra entrega (salvo que ingmarov me diga que quiere hacer el problema 1 que has hecho tú y que necesita algo más de tiempo, claro). Vamos, que no dudéis en manifestaros sobre a el ritmo al que queráis que vayamos. A mí me es indiferente. Mejor dicho, prefiero ir más despacio y que tengáis tiempo de digerir todo que correr para nada, pero tampoco quiero que os sintáis obligados a hacer algún ejercicio si preferís que vaya adelantando.

Éste es un problema sí. Tú como profesor debes estar acostumbrado sin duda. Para Ingmarov y gente que sabe como él seguramente vas despacio y para mí y gente como yo aficionada, pues un poco deprisa. Yo voy a ser egoísta -pero también valiente- (Sres/as aficionados que leéis esto, manifestarse un poco ¿no?, qué me dejáis sólo); yo preferiría que publicaras más bien cada 2 días que cada 1. Por ejemplo, -para gente como yo- un día para estudiar y entender lo que has puesto y en todo caso preguntar y otro día para hacer los ejercicios. Relato mi caso. Yo hoy puedo decir que tengo bastante tiempo, pero es una excepción, este tiempo no lo voy a tener a partir del lunes. Y a pesar de tener tiempo me ha dado lugar sólo de estudiar lo que pusiste ayer y hacer 1 ejercicio. La verdad es que tengo bastante interés también en el ejercicio sobre la razón áurea, me parece fascinante que sea un número ciclotómico. Ya digo, a lo mejor hoy me da tiempo también, pero eso no va a ser lo habitual.


Un saludo,

[ingmarov]

Ahora el segundo.

Es correcto. Para terminar sólo te ha faltado una división entre 2.

Ojo, que me acabo de dar cuenta de que te has dejado un signo menos al resolver la ecuación de segundo grado.

Pero debo insistir en que el cálculo de las potencias de \( \eta \) no son ganas de haceros trabajar, sino que éstas van a ser fundamentales en un paso de la prueba del UTF5 y, de hecho, generalizar la propiedad de estas potencias que vamos a usar a primos arbitrarios es una de las partes más complicadas del argumento general de Kummer.

Si te da pereza calcularlas mediante multiplicaciones sucesivas, siempre puedes usar el binomio de Newton. Si Proyecto_dos lo hace multiplicando, así tendremos dos soluciones alternativas.

¿Signo menos? Solo anoté las dos raices juntas usando \( \pm \), al escribir \( \eta \) la he señalado como la raíz real positiva de p(x).

La potencias ya las hice por multiplicaciones secesivas mas no las he publicado, ya revisé y coinciden con los resultados de Proyecto_dos, intentaré hacerlo por el binomio de newton en un rato. Ahora toca almorzar.

[Carlos Ivorra]

Éste es un problema sí. Tú como profesor debes estar acostumbrado sin duda. Para Ingmarov y gente que sabe como él seguramente vas despacio y para mí y gente como yo aficionada, pues un poco deprisa. Yo voy a ser egoísta -pero también valiente- (Sres/as aficionados que leéis esto, manifestarse un poco ¿no?, qué me dejáis sólo); yo preferiría que publicaras más bien cada 2 días que cada 1.

Teniendo en cuenta que estáis participando sólo dos personas, sería poco serio que no pudiéramos ponernos de acuerdo, y estoy seguro de que a ingmarov no le importará que nos adecuemos al ritmo que tú necesitas. Pero incluso lo que planteas me parece demasiado restrictivo para ti, pues te compromete a digerir una entrega cada dos días. Me parece más práctico otro sistema:

Salvo que me digáis que no tenéis interés en hacer algún ejercicio pendiente, yo me espero a que los hayáis hecho, y entonces publico otra entrega, lo cual no quiere decir que inmediatamente tengas que leerla, digerirla y hacer los nuevos ejercicios, sino que tranquilamente puedes olvidarte de ella hasta que hayas digerido lo anterior, luego entrar en ella, cuando lo estimes oportuno haces los ejercicios y entonces (cuando ingmarov, tú y cualquier otro que pudiera apuntarse los haya hecho) yo publico la entrega siguiente.

Esto sólo requiere que si, por lo que sea, no vais a hacer un ejercicio, me aviséis para que publique la entrega siguiente sin esperar en vano.

Por ejemplo, -para gente como yo- un día para estudiar y entender lo que has puesto y en todo caso preguntar y otro día para hacer los ejercicios. Relato mi caso. Yo hoy puedo decir que tengo bastante tiempo, pero es una excepción, este tiempo no lo voy a tener a partir del lunes. Y a pesar de tener tiempo me ha dado lugar sólo de estudiar lo que pusiste ayer y hacer 1 ejercicio. La verdad es que tengo bastante interés también en el ejercicio sobre la razón áurea, me parece fascinante que sea un número ciclotómico. Ya digo, a lo mejor hoy me da tiempo también, pero eso no va a ser lo habitual.

Pues por eso lo digo. Yo me espero, y cuando lo tengas hecho, sea hoy, mañana o el mes que viene, publico la siguiente entrega. Los lectores que no manifiestan su voz, tampoco tienen voto. Los únicos que decidís sois ingmarov y tú. Si los que no hablan preferirían no esperarse un mes, pues que hablen o que callen para siempre.