Enunciado.Grosso modo, una superficie regular \( z=f(x,y) \) se dice que es minimal si para cada punto de ella existe un entorno \( \Omega \) de modo que ella misma es la superficie de menor área entre todas las que tienen como frontera a la frontera de \( \Omega \) (equivalentemente, si su curvatura media se anula en todo punto, esto es, \( H\equiv0 \), o, de forma más intuitiva, si cualquier región acotada de la superficie minimal considerada es un punto crítico para la función de área de cualquier variación normal de la región acotada (nótese que este punto puede ser o no un mínimo)). Por ejemplo, un plano es minimal. Las superficies minimales se pueden caracterizar a través de EDP's, ya que la superficie dada a través de z=f(x,y) es minimal si satisface la ecuación de Euler-Lagrange\( f_{xx}(1+f_{y}^{2})-2f_{xy}f_{x}f_{y}+f_{yy}(1+f_{x}^{2})=0 \)
Discutir si existen superficies minimales del tipo \( z=xg(y) \) y, en caso afirmativo, además de dar su expresión analítica, intente mediante un paquete matemático apropiado (se deja a su elección) dibujar la gráfica de tal o tales superficies. ____
Solución.Si \( z=xg(y) \) es una superficie minimal, entonces según el enunciado ha de satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange
\( f_{xx}(1+f_{y}^{2})-2f_{xy}f_{x}f_{y}+f_{yy}(1+f_{x}^{2})=0 \) (1)
Observamos que una solución trivial de la anterior ecuación es el plano. Procediendo con el problema, calculamos las derivadas parciales pedidas de la función propuesta llegando a la ecuación
\( -2xg(y)g'(y)^{2}+xg''(y)^{2}(1+g(y))^{2}=0 \)
Si \( x=0 \) obtenemos la solución trivial. Si suponemos que \( x\neq0 \), llegamos a la ecuación autónoma
\( -2g(y)g'(y)^{2}+g''(y)(1+g(y)^{2})=0 \) (2)
Intuitivamente, podemos pensar en tratar de reformular la ecuación (2) de manera que \( g'' \) pase a ser una primera derivada de algo; es decir, si cogemos a \( g \) como variable independiente tenemos que
\( \begin{align*} g' &=u \\ g'' &= \frac{du}{dy} =\frac{du}{dg}\frac{dg}{dy} = uu' \\ F(g,u,uu')&=0 \end{align*} \)
Así, la ecuación (2) se convierte en la ecuación de primer orden
\( -2gu(g)^{\text{2}}+u(g)u'(g)(1+g^{2})=0\Leftrightarrow u(g)\left(-2gu(g)+u'(g)(1+g^{2})\right)=0 \)
Distinguimos dos casos: si \( u(g)=0 \) entonces \( g(y)=C_{1},\ C_{1}\in\mathbb{R} \), y si \( u(g)\neq0 \) entonces
\( \displaystyle -2gu(g)+u'(g)(1+g^{2})=0\Leftrightarrow\int\frac{du}{u}=\int\frac{2g}{1+g^{2}}dg\Leftrightarrow u(g)=C_{2}(g^{2}+1) \)
con \( C_{2}>0 \)
y por tanto
\( \displaystyle g'(y)=C_{2}(g^{2}+1)\Leftrightarrow\int\frac{dg}{(g^{2}+1)}=\int dyC_{2}\Leftrightarrow g(y)=\tan(yC_{2}+C_{3}),\ \)
con \( C_{2}\in\mathbb{R}^{+},C_{3}\in\mathbb{R} \)
luego o bien \( g(y)=C_{1} \) o bien \( g(y)=\tan(yC_{2}+C_{3}) \). Por tanto, las familias de superficies encontradas son \( z=xC_{1},\ C_{1} \in \mathbb{R} \) y \( z=x\tan(yC_{2}+C_{3}),\ C_{3}\in\mathbb{R}, \, C_{2}>0 \)
Si en \( z=x\tan(yC_{2}+C_{3}) \) hacemos \( C_{2}=1 \) , \( C_{3}=10 \) obtenemos la siguiente representación gráfica:
