Mucho más fácil todavía!!!!!!
En las hipótesis del problema basta derivar respecto de x en ambos lados para llegar a lo siguiente:
\( f^{\prime}(x/2)=f^{\prime}(x) \) y esto para todo x real. (regla de la cadena)
Pero esto sólo puede ocurrir si la derivada de f es constante.
De modo que, \( f'(x)=c_1 \) y por lo tanto \( f(x)=c_1.x+c_2 \) para ciertos c1,c2 reales.
Resta ver quienes son \( c_1 $ y $ c_2 \).
Aplicando la condición resultará obvio:
f(0)=0 entonces c2=0
El c1 no se conoce explicitamente sin embargo es obvio que, al ser constante, f´(x)=c1=f´(0)=f´(1)=... para todo x real.
De modo que se deduce lo que queríamos: f(x)=f´(0).x.
Visto así, el problema parece bastante trivial.
Saludos.