Hola, estimado Rincón
En un espacio de probabilidad \( (\Omega,\mathcal{F},P) \)...
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En teoría de la probabilidad, un espacio de probabilidad o una tres-upla de probabilidad \( (\Omega,\mathcal{F},P) \) es un concepto que proporciona un modelo formal de un proceso aleatorio o "experimento". Por ejemplo, puede definirse un espacio de probabilidad que modele el lanzamiento de un dado. Un espacio de probabilidad consiste en tres elementos:
1- El espacio muestral, \( \Omega \), que es el conjunto de todos los posibles resultados;
2- Un espacio de eventos, que consiste en el conjunto de eventos, \( \mathcal{F} \), siendo un evento el conjunto de resultados en el espacio muestral;
3- Una función de probabilidad, \( P \), que asigna, a cada evento en el espacio de eventos, una probabilidad, que consiste en un número entre 0 y 1 (incluídos ambos)
...la interpretación de los eventos como conjuntos nos permite hablar de la intersección y uniones de los eventos. Las intersecciones y uniones son útiles para asignar la probabilidad de dos eventos concurrentes y la probabilidad de al menos uno de los dos eventos:
\( A\cap{B}=\{\omega\in{\Omega}\,:\,\omega\in{A}\quad\text{y}\quad\omega\in{B}\} \)
y
\( A\cup{B}=\{\omega\in{\Omega}\,:\,\omega\in{A}\quad\text{o}\quad\omega\in{B}\} \)
Como \( A\cap{B},\, A\cup{B}\in{\mathcal{F}} \) para \( A,\,B\in{\mathcal{F}} \), podemos hablar de \( P(A\cap{B}) \) y de \( P(A\cup{B}) \). La unión de probabilidad puede relacionarse con la probabilidad de intersección como
\( P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B}) \)
Esta igualdad es usada mucho para calcular \( P(A\cup{B}) \) cuando las otras tres probabilidades son conocidas. Una forma de llegar a la igualdad es considerar un resultado \( \omega\in{A\cap{B}} \) medido dos veces en \( P(A)+P(B) \). Para evitar este doble conteo, ponemos \( P(A\cap{B})=P(A)+P(B)-P(A\cup{B}) \)
La duda que tengo está relacionada con otro hilo,
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126033.0En el que se pregunta por la prueba de
1- \( A\cap{(A\cup{B})}=A \)
2- \( (A\cap{B})\cap{(A\cup{B})}=A\cap{B} \)
Entiendo la prueba expuesta en el hilo que acabo de poner, pero me he liado la manta: he querido saber qué había detrás del título que en un principio tenía, y ahora me hago las siguientes preguntas:
i) Si tengo una igualdad de conjuntos, como por ejemplo \( (A\cup{B})=A+B-(A\cap{B}) \), ¿puedo, como a primera vista parece, escribir \( P(A\cap{B})=P(A)+P(B)-P(A\cup{B}) \)? Siempre que tengo una igualdad de conjuntos, ¿tengo una igualdad probabilística con esos conjuntos?
ii) No consigo probar \( (A\cup{B})=A+B-(A\cap{B}) \) más que ingénuamente, con diagramas de Venn, o con ejemplos sencillos.
¡Un saludo!
