[Marcos Castillo]

Hola, estimado Rincón

El ejemplo es este:

Ejemplo 4 Exprese el límite \( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{2}{n}\left({1+\displaystyle\frac{2i-1}{n}}\right)^{1/3}}} \) como una integral definida.

Solución Deseamos interpretar la suma como una suma de Riemann para \( f(x)=(1+x)^{1/3} \). El factor \( 2/n \) sugiere que el intervalo de integración es \( 2 \) y está dividido en \( n \) subintervalos iguales, cada uno de ellos de longitud \( 2/n \). Sea \( c_i=(2i-1)/n \) para \( i=1,2,3,...,n \). Cuando \( n\to\infty \), \( c_1=1/n\to 0 \) y \( c_n=(2n-1)/n\to 2 \). Por tanto, el intervalo es \( [0,2] \) y los puntos de la partición son \( x_i=2i/n \). Obsérvese que \( x_{i-1}=(2i-2)/n<c_i<2i/n=x_i \) para todo \( i \), de forma que la suma es en realidad una suma de Riemann para \( f(x) \) en el intervalo \( [0,2] \). Como \( f \) es continua en ese intervalo, es integrable en él, y

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{2}{n}\left({1+\displaystyle\frac{2i-1}{n}}\right)^{1/3}}}=\displaystyle\int_{a}^{b}(1+x)^{1/3}dx \)

¿Por qué si tengo una etiqueta por partición estoy hablando de suma de Riemann para el sumatorio del enunciado?

Mi intento: la clave está en el subíndexado del sumatorio, que es idéntico al del etiquetado por partición: \( P=\{x_i\}=\{x_0,x_1,x_2,\cdots,x_n\} \), y \( c=(c_i)=(c_1,c_2,c_3,\cdots,c_n) \).

¡Un saludo!

[Masacroso]

Observa que

\( \displaystyle{
1+\frac{2k-1}{n}=1+2\frac{k-1/2}{n}
} \)

y que \( \frac{k-1/2}{n}\in\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right] \) para cada \( k\in\{1,\ldots,n\} \), por tanto

\( \displaystyle{
\lim_{n\to \infty }\frac2{n}\sum_{k=1}^n \left(1+\frac{2k-1}{n}\right)^{1/3}=2\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^n \frac1{n}\left(1+2\frac{k-1/2}{n}\right)^{1/3}=2\int_{0}^1 (1+2x)^{1/3}\,d x
} \)

ya que cada suma corresponde a una suma de Riemann de una partición uniforme en \( n \) trozos de \( [0,1] \).

[Marcos Castillo]

(...)

y que \( \frac{k-1/2}{n}\in\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right] \) para cada \( k\in\{1,\ldots,n\} \), por tanto

(...)

ya que cada suma corresponde a una suma de Riemann de una partición uniforme en \( n \) trozos de \( [0,1] \).

Es que no consigo cuadrar el dibujo adjuntado con éstos cálculos

[Masacroso]

(...)

y que \( \frac{k-1/2}{n}\in\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right] \) para cada \( k\in\{1,\ldots,n\} \), por tanto

(...)

ya que cada suma corresponde a una suma de Riemann de una partición uniforme en \( n \) trozos de \( [0,1] \).

Es que no consigo cuadrar el dibujo adjuntado con éstos cálculos

La definición de suma de Riemann para una función \( f \) en un intervalo \( [a,b] \) sobre una partición en \( n \) trozos viene dada por \( \sum_{k=1}^n f(x_k) \Delta _k \), donde cada \( x_k \) es un punto cualquiera perteneciente al \( k \)-ésimo trozo \( I_k \) de la partición y \( \Delta _k \) es la longitud de tal \( k \)-ésimo trozo. Por ejemplo, supongamos que tenemos la partición dada por los puntos \( \{0,1/4,1/2,3/4,1\} \) del intervalo \( [0,1] \), es decir, eso significa que partimos \( [0,1] \) en los cuatro trozos \( I_1:=[0,1/4],\,I_2:=[1/4,1/2],\,I_3:=[1/2,3/4] \) y \( I_4:=[3/4,1] \), cada uno de longitud \( 1/4 \). Por tanto una suma de Riemann de esa partición para la función \( f(x):=\cos (\sqrt{x}) \) vendría dada por

\( \displaystyle{
\sum_{k=1}^4 \cos \left(\sqrt{\frac1{8}+\frac{k-1}{4}}\right)\frac1{4}
} \)

ya que los puntos \( x_k:=\frac1{8}+\frac{k-1}{4} \) pertenecen cada uno a cada subintervalo de los antes mencionados, es decir, \( x_k\in I_k \) para \( k\in\{1,\ldots,4\} \). Pues lo de mi respuesta anterior es lo mismo que en este ejemplo pero para una partición en \( n \) subintervalos de \( [0,1] \) definidos por \( I_k:=[(k-1)/n,k/n] \), cada trozo de longitud \( 1/n \), y donde cada \( x_k:=\frac{k-1/2}{n} \) es el punto medio de cada uno de los subintervalos, todo eso aplicado a la función \( f(x):=(1+2x)^{1/3} \).

Si no entiendes algo de todo lo anterior pregunta. Por otra parte no sé muy bien lo que quieres dibujar así que respecto a eso no sé qué decirte. Dime lo que quieras dibujar y lo hacemos.

[Marcos Castillo]

Es que no consigo cuadrar el dibujo adjuntado con éstos cálculos

Efectivamente, si quiero graficar, como debería, por el método de sumas de Riemann, una aproximación al área bajo una curva, me falta dibujar en este caso la suma inferior. Entonces sería más acorde con el hilo; pero no encajaría más que como reseña.

Por tanto una suma de Riemann de esa partición para la función \( f(x):=\cos (\sqrt{x}) \) vendría dada por

\( \displaystyle{
\sum_{k=1}^4 \cos \left(\sqrt{\displaystyle\frac{1}{8}+\frac{k-1}{4}}\right)\frac1{4}
} \)

¿Cómo relaciono este sumatorio con el de el mensaje inicial? En este caso \( x_k=\displaystyle\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{k-1}{4} \); en el ejemplo, \( x_k=1+\displaystyle\frac{2i-1}{n} \).

¡Un saludo!

[Masacroso]

Efectivamente, si quiero graficar, como debería, por el método de sumas de Riemann, una aproximación al área bajo una curva, me falta dibujar en este caso la suma inferior. Entonces sería más acorde con el hilo; pero no encajaría más que como reseña.

No entiendo qué quieres decir, pero efectivamente la suma de Riemann del ejemplo no es una suma inferior, ya que los puntos elegidos no son aquellos que minimizan la función en cada subintervalo, es decir, \( (1+2x_k)^{1/3} \) no es el valor mínimo de \( f(x):=(1+2x)^{1/3} \) en el subintervalo \( \left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right] \) si tomamos \( x_k:=\frac{k-1/2}{n} \).

Por tanto una suma de Riemann de esa partición para la función \( f(x):=\cos (\sqrt{x}) \) vendría dada por

\( \displaystyle{
\sum_{k=1}^4 \cos \left(\sqrt{\displaystyle\frac{1}{8}+\frac{k-1}{4}}\right)\frac1{4}
} \)

¿Cómo relaciono este sumatorio con el de el mensaje inicial? En este caso \( x_k=\displaystyle\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{k-1}{4} \); en el ejemplo, \( x_k=1+\displaystyle\frac{2i-1}{n} \).

¡Un saludo!

No, en el ejemplo que da inicio al tema es \( x_k=\frac{k-1/2}{n} \), es decir, el punto medio del subintervalo \( [\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}] \), lo tienes en la primera respuesta del tema. En el ejemplo inventado del coseno los puntos \( x_k \) también son los puntos medios de los subintervalos correspondientes, teniendo en cuenta que tales puntos están dados para \( n=4 \).

Dicho de otro modo: si \( n=4 \) entonces los \( x_k \) del ejemplo que inicia el tema y los \( x_k \) del ejemplo que inventé yo son exactamente los mismos puntos, es decir, observa que

\( \displaystyle{
\frac{k-1/2}{4}=\frac1{8}+\frac{k-1}{4},\quad \text{ para }k\in\{1,2,3,4\}
} \)

[Marcos Castillo]

No entiendo qué quieres decir,

Me refería al dibujo que adjunté:



Lo que quería es decir que vamos, desde mi punto de vista carece de todo: es incompleto ,y además, aunque lo fuera, reflejando el concepto de acotación superior e inferior de la función, mi opinión es que es irrelevante para la tarea del hilo, que en mi opinión consiste en responder la frase subrayada del mensaje inicial

 pero efectivamente la suma de Riemann del ejemplo no es una suma inferior, ya que los puntos elegidos no son aquellos que minimizan la función en cada subintervalo, es decir, \( (1+2x_k)^{1/3} \) no es el valor mínimo de \( f(x):=(1+2x)^{1/3} \) en el subintervalo \( \left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right] \) si tomamos \( x_k:=\frac{k-1/2}{n} \).

Cierto. Simplemente la parten en dos, ya que cada suma (en ambos ejemplos) corresponde a una suma de Riemann de una partición uniforme.

Por tanto una suma de Riemann de esa partición para la función \( f(x):=\cos (\sqrt{x}) \) vendría dada por

\( \displaystyle{
\sum_{k=1}^4 \cos \left(\sqrt{\displaystyle\frac{1}{8}+\frac{k-1}{4}}\right)\frac1{4}
} \)

Pienso que lo he entendido. Es determinante la observación \( \displaystyle{ \frac{k-1/2}{4}=\frac1{8}+\frac{k-1}{4},\quad \text{ para }k\in\{1,2,3,4\} } \); en el primer ejemplo para \( n=2 \) y en el segundo para \( n=4 \), y en ambos casos, deseamos interpretar la suma como una suma de Riemann para \( f(x)=(1+x)^{1/3} \)

En conclusión, ahora cuento con dos ejemplos para interpretar la suma del ejercicio como una suma de Riemann para \( f(x)=(1+x)^{1/3} \).

PD: Ruego que si observáis algo a comentar, no dudéis. Yo de hecho publico con un poco de reserva, pese a animarme.

¡Un saludo!

[Masacroso]

No entiendo qué quieres decir,

Me refería al dibujo que adjunté:



Lo que quería es decir que vamos, desde mi punto de vista carece de todo: es incompleto ,y además, aunque lo fuera, reflejando el concepto de acotación superior e inferior de la función, mi opinión es que es irrelevante para la tarea del hilo, que en mi opinión consiste en responder la frase subrayada del mensaje inicial

Ok, creo que ya entiendo. Es que no me quedaba muy claro cuál era la duda que tenías. Sí, ocurre que la suma de Riemann del ejemplo del libro puede interpretarse como una suma de Riemann en \( [0,2] \) en vez de en \( [0,1] \) por los motivos expuestos en el epígrafe que citas sobre la solución.

Por recapitular para dejarlo todo más claro: yo interpreté tal suma de Riemann como una suma de Riemann en \( [0,1] \) de la función \( f(x):=2(1+2x)^{1/3} \), pero también se puede interpretar como una suma de Riemann en \( [0,2] \) de la función \( g(x):=(1+x)^{1/3} \). Es decir, la suma \( \sum_{k=1}^n \frac{2}{n}\left(1+\frac{2k-1}{n}\right)^{1/3} \) se puede interpretar (al menos) de esas dos formas diferentes, ambas cuales dan lugar al mismo resultado ya que

\( \displaystyle{
\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}2\left(1+2x_k\right)^{1/3}=\int_{0}^1 2(1+2x)^{1/3}\,d x=\int_{0}^2 (1+y)^{1/3}\,d y=\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^n \frac{2}{n}\left(1+y_k\right)^{1/3}
} \)

con \( x_k:=\frac{k-1/2}{n} \) e \( y_k:=\frac{2k-1}{n} \). También decir que en ninguna de esas dos interpretaciones las sumas \( \sum_{k=1}^n \frac{2}{n}\left(1+\frac{2k-1}{n}\right)^{1/3} \) son sumas inferiores de Darboux. Espero que con esta pequeña recapitulación haya quedado todo algo más claro.

[Marcos Castillo]

Hola, estimado Rincón

También decir que en ninguna de esas dos interpretaciones las sumas \( \sum_{k=1}^n \frac{2}{n}\left(1+\frac{2k-1}{n}\right)^{1/3} \) son sumas inferiores de Darboux. Espero que con esta pequeña recapitulación haya quedado todo algo más claro.

Si \( f(x_2)>f(x_1) \) siempre que \( x_2>x_1 \) en \( [x_1,x_2] \), es estrictamente creciente, ¿correcto?.
Si es correcto, pregunto, ¿las sumas serán siempre superiores?.

¡Un saludo!

[Masacroso]

También decir que en ninguna de esas dos interpretaciones las sumas \( \sum_{k=1}^n \frac{2}{n}\left(1+\frac{2k-1}{n}\right)^{1/3} \) son sumas inferiores de Darboux. Espero que con esta pequeña recapitulación haya quedado todo algo más claro.

Si \( f(x_2)>f(x_1) \) siempre que \( x_2>x_1 \) en \( [x_1,x_2] \), es estrictamente creciente, ¿correcto?.

Efectivamente si \( f \) es estrictamente creciente en \( [x_1,x_2] \) entonces el máximo de \( f \) en ese intervalo está en \( x_2 \). Pero no sé qué tiene esto que ver con lo que te comento antes de que las sumas de Riemann \( \sum_{k=1}^n \frac{2}{n}\left(1+\frac{2k-1}{n}\right)^{1/3} \) no son sumas inferiores de Darboux, de hecho tampoco son sumas superiores, para ninguna de las dos interpretaciones que comentaba en mi mensaje anterior.

Si es correcto, pregunto, ¿las sumas serán siempre superiores?

¿Qué sumas?