[Marcos Castillo]

Hola, estimado Rincón

Si una cantidad, digamos \( y \), es una función de otra cantidad \( x \), es decir

\( y=f(x) \)

A veces queremos saber cómo un cambio en el valor de \( x \) por una cantidad \( \Delta{x} \) afectará el valor de \( y \). El cambio exacto \( \Delta{y} \) en \( y \) viene dado por

\( \Delta{y}=f(x+\Delta{x})-f(x) \)

Pero si el cambio \( \Delta{x} \) es pequeño, entonces podemos obtener una buena aproximación a \( \Delta{y} \) usando el hecho de que \( \Delta{y}/\Delta{x} \) es aproximadamente \( dy/dx \). Entonces,

\( \Delta{y}=\dfrac{\Delta{y}}{\Delta{x}}\Delta{x}\approx{\dfrac{dy}{dx}\Delta{x}=f'(x)\Delta{x}} \)

Es habitualmente conveniente representar esta aproximación en términos de diferenciales; si denotamos el cambio en \( x \) por \( dx \) en lugar de \( \Delta{x} \), entonces el cambio \( \Delta{y} \) en \( y \) es aproximado por el diferencial \( dy \), es decir (véase la Figura 2.25)

\( \Delta{y}\approx{dy=f'(x)dx} \)

Ejemplo 1 Sin usar la calculadora científica, determine aproximadamente por cuánto el valor de \( \sin{x} \) aumenta de \( \pi/3 \) a \( (\pi/3)+0.006 \). ¿Con tres decimales, cuál es el valor de \( \sin{((\pi/3)+0.006)} \)?

Solución Si \( y=\sin{x} \), \( x=\pi/3\approx{1.0472} \), y \( dx=0.006 \), entonces

\( dy=\cos{(x)}dx=\cos\left({\dfrac{\pi}{3}}\right)dx=\dfrac{1}{2}(0.006)=0.003 \)

Por lo tanto, el cambio en el valor de \( \sin{x} \) es aproximadamente \( 0.003 \), y

\( \sin\left({\dfrac{\pi}{3}+0.006}\right)\approx{\sin{\dfrac{\pi}{3}}+0.003}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+0.003=0.869 \)

redondeado a tres decimales

Es esta aproximación \( \sin\left({\dfrac{\pi}{3}+0.006}\right)\approx{\sin{\dfrac{\pi}{3}}+0.003} \). Supongo que es extapolable a cualquier función. Estoy en cálculo, así que Wikipedia habla de cambio en la linealización de una función. La pregunta es: ¿a qué hace referencia, (¡o ya lo ha hecho el texto!) cuando en el ejemplo pide determinar por aproximadamente cuánto el valor de \( \sin{x} \) aumenta de \( \pi/3 \) a \( (\pi/3)+0.006 \)? Es que no lo veo ni en la figura adjunta.
¿Cuál sería la expresión para una función cualquiera?.

¡Un saludo!

[Juan Pablo Sancho]

Si tenemos una función derivable en un intervalo abierto por ejemplo y \( x_o \in (a,b)  \) entonces la recta tangente en ese punto a la curva es \( g(x) = f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_o)  \), cerca de \( f(x_0) \) puedes linearizar \( f(x) \) por \( g(x) \).
Tenemos \( x-x_o = \Delta x_0  \):
\( f(x) -f(x_0) = \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot (x-x_0) \simeq f'(x_0) \cdot (x-x_0)  \)
\( f(x) \simeq f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0) = g(x)  \)

[Marcos Castillo]

\( f(x) \simeq f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0) = g(x)  \)

Genial.
¡Un saludo! Sigo adelante

[feriva]

Hola, Marcos.

En el libro de de Matemáticas especiales de la UNED, creo recordar, lo explicaban con ayuda de la secante y quedaba bastante claro

La situación, más o menos en general, era ésta (voy de memoria y ya hace muchos años, mira bien a ver lo que digo).


Tenemos un segmento en rojo que es secante a la curva.

El extremo de la derecha, el de más arriba, es el punto de coordenadas \( (x+\Delta x),\,\, f(x+\Delta x)
  \),

Si, por ejemplo, \( x+\Delta x=7,2
  \), digamos que \( \Delta x
  \) puede ser, también por ejemplo, 0,2. Es decir, detrás hay otra coordenada en verde que es \( x=7
  \); y, con ella, en la curva, un punto verde de coordenadas \( (\, x,\: f(x)\,)
  \).

Al otro punto rojo en el eje X, detrás del punto (x,0) (en verde) no le pongo letra; pero fíjate que, en general, no va a estar a la misma distancia de (x,0) que lo está el punto \( (x+\Delta x,\,\,0)
  \); eso va a depender de la pendiente del segmento rojo, de la secante a la curva.

Ahora imagina que empujamos la secante sin que se salga de esos dos raíles de líneas rojas entrecortadas (empujamos a la derecha). Llega un momento en el que, al deslizarla, toca el punto verde de coordenadas \( (\, x,\: f(x)\,)
  \). En este punto, entonces, la pendiente es precisamente la misma que tiene la secante; y el valor de esa pendiente es el de la derivada en el punto \( (\, x,\: f(x)\,)
  \).

Según vamos deslizando la secante (según lo que estamos imaginando) podemos acortarla quedándonos como extremos los puntos de intersección con la curva y borrando lo que sobra. Visualízalo y verás que lo que ocurre es que la coordenada \( (x+\Delta x)
  \) se acerca a la coordenada “x”. Por ejemplo, si antes \( \Delta x=0,2
  \), ahora será más pequeño; por poner algo, sea \( \Delta x=0,005
  \). Con lo que, a partir del ejemplo, \( f(x+\Delta x)
  \) sería \( f(7+0,005)
  \). Esa coordenada se acerca a la coordenada f(x) debido a deslizar así la secante y quedarnos con los nuevos puntos de intersección de la secante con la curva.

Hemos visto que la distancia de la coordenada x (en verde en el eje X) no era la misma a los dos puntos rojos de al lado, pero en la medida que tomamos esos nuevos puntos (al deslizar la secante) las distancias se parecen más en valor porque se distinguen menos de cero. Nuestra capacidad de captar precisión, como humanos, tiene un límite y llegará un momento en que dichas distancias tengan el mismo valor, cero.

Y, cuando ocurre eso, las coordenadas “x” y \( x+\Delta x
  \), del eje X, quedan situadas ambas (y exactamente, debido a esa incapacidad de captar más precisión) en el punto \( (x,0) \) del eje.

Del mismo modo ocurre con las coordenadas f(x) y \( f(x+\Delta x)
  \) en el otro eje, quedan colocadas una “encima” de la otra, o sea, situadas a la altura del punto  \( \cancel{(\, x,\, f(x+\Delta x)\,)} \) \( (x, f(x)) \)
En todo este proceso la inclinación o pendiente de la secante no ha cambiado, por mucho que su longitud se haya ido acortando y acortando hasta llegar a medir prácticamente cero. En ese momento podríamos "etiquetar" la coordenada \( x+\Delta x
  \) y la coordenada "x" (las mismas en la práctica) como \( dx \) y la coordenada f(x) ó \( f(x+\Delta x)
  \) como \( df(x) \); indicando que ya no podemos acortar más la secante porque es prácticamente un punto (si bien no son coordenadas en sí, sino los puntos "materiales") Pero eso no será óbice (ni Obelix tampoco) para que el valor de \( \dfrac{df(x)}{dx}
  \) sea el mismo que el de la pendiente que tenía el segmento secante de origen.

La longitud cero o infintesimal de \( dx
  \) en esas condiciones es \( (x+\Delta x)-x=dx \), obviamente, y de igual modo la de \( df(x)
  \) coincide con \( f(x+\Delta x)-f(x)=df(x) \); por lo que hemos visto según acortábamos la secante hasta dejarla en un punto prácticamente.

Un ejemplo simple.

Spoiler

Sea \( f(x)=\sqrt{x}
  \). Directamente \( f(9)=3
  \), pero \( f(9,013
  \) ya no es fácil.

Tenemos que la pendiente en un punto (x, f(x)) la sabemos calcular con la derivada, siendo el límite de esto que sigue cuando la variación de equis tiende a cero: \( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}=\dfrac{df(x)}{dx}
  \).

Que resulta \( \dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{-2}}
  \) y es 1/6 para x=9.

Si en vez de que tienda a cero, haces que la variación tienda a la mantisa del otro número 0,013, ya no es la pendiente en el punto \( (9,3)
  \), pero es la pendiente en un punto cercano a (9,3), con lo que tal pendiente se parecerá bastante en valor; pues es la pendiente en un extremo de la secante cuando ésta ya está bastante “cortita”, cerca del punto.

Entonces, sustituyendo y aproximando a 1/6

\( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}\approx\dfrac{\sqrt{9+0,013}-\sqrt{9}}{0,013}\approx\dfrac{1}{6}
  \)

despejando

\( \sqrt{9+0,013}\approx\dfrac{0,013}{6}+3=3,00216666...
  \)

Y el valor que da la calculadora es \( \sqrt{9,013}=3,002165885
  \).

O sea, he usado la derivada de f(9) y como variación la mantisa, 0,013.

[cerrar]

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Estimado feriva! Hola

En el libro de de Matemáticas especiales de la UNED, creo recordar, lo explicaban con ayuda de la secante y quedaba bastante claro

Sí, es muy gráfico.

Sea \( f(x)=\sqrt{x}
  \). Directamente \( f(9)=3
  \), pero \( f(9,013
  \) ya no es fácil.

Tenemos que la pendiente en un punto (x, f(x)) la sabemos calcular con la derivada, siendo el límite de esto que sigue cuando la variación de equis tiende a cero: \( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}=\dfrac{df(x)}{dx}
  \).

Que resulta \( \dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{-2}}
  \) y es 1/6 para x=9.

Si en vez de que tienda a cero, haces que la variación tienda a la mantisa del otro número 0,013, ya no es la pendiente en el punto \( (9,3)
  \), pero es la pendiente en un punto cercano a (9,3), con lo que tal pendiente se parecerá bastante en valor; pues es la pendiente en un extremo de la secante cuando ésta ya está bastante “cortita”, cerca del punto.

Entonces, sustituyendo y aproximando a 1/6

\( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}\approx\dfrac{\sqrt{9+0,013}-\sqrt{9}}{0,013}\approx\dfrac{1}{6}
  \)

despejando

\( \sqrt{9+0,013}\approx\dfrac{0,013}{6}+3=3,00216666...
  \)

Y el valor que da la calculadora es \( \sqrt{9,013}=3,002165885
  \).

O sea, he usado la derivada de f(9) y como variación la mantisa, 0,013.

¿El término "mantisa" en este contexto es parecido al de "parte decimal"?

Bueno, ahora voy a escribir unas líneas de texto del libro de Cálculo, a ver si aporto algo al hilo:

4.7 Aproximaciones lineales
Muchos de los problemas de la matemática aplicada son difíciles de resolver exactamente, y todo lo que podemos esperar es obtener soluciones aproximadas que sean correctas dentro de unos límites pequeños de tolerancia aceptables. En esta sección examinaremos cómo el conocimiento de los valores de una función y de su derivada en un punto nos puede servir para obtener valores aproximados de la función en puntos cercanos.
La tangente a la gráfica \( y=f(x) \) en \( x=a \) describe el comportamiento de dicha gráfica cerca del punto \( P=(a,f(a)) \), mejor que cualquier otra línea recta que pase por \( P \), porque pasa por dicho punto en la misma dirección que la curva \( y=f(x) \) (véase la Figura 4.56). Explotaremos este hecho utilizando la altura hasta la tangente para calcular valores aproximados de \( f(x) \) para valores cercanos a \( a \). La ecuación de la recta tangente es \( y=f(a)+f'(a)(x-a) \)



Denominaremos al miembro derecho de esta ecuación linealización de \( f \) alrededor de \( a \) (o linealización de \( f(x) \)
en \( x=a \)

"DEFINICIÓN 8 La linealización de la función \( f \) alrededor de \( a \) es la función \( L \) definida como

\( L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) \)

Se dice que \( f(x)\approx{L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)} \) proporciona una aproximación lineal de los valores de \( f \) cerca de \( a \)."

El siguiente ejemplo ilustra el uso de la linealización para obtener un valor aproximado de \( \sqrt{26} \)

Ejemplo 3 Utilice la linealización de \( \sqrt{x} \) en \( x=25 \) para obtener un valor aproximado de \( \sqrt{26} \).

Solución Si \( f(x)=\sqrt{x} \), entonces \( f'(x)=1/(2\sqrt{x}) \). Como sabemos que \( f(25)=5 \) y \( f'(25)=1/10 \), la linealización de \( f(x) \) en \( x=25 \) es

\( L(x)=5+\dfrac{1}{10}(x-25) \)

Haciendo \( x=26 \) se obtiene

\( \sqrt{26}=f(26)\approx{L(26)=5+\dfrac{1}{10}(26-25)=5.1} \)

PS: Mi opinión personal es que este mensaje, y este ejemplo en concreto, no significa nada. Tengo que leer (todavía no lo he hecho) el siguiente párrafo, y a continuación introducción del siguiente epígrafe, Análisis del error. Porque la palabra "cerca" de \( a \), es que no.

¡Un saludo!

[feriva]

Hola, Marcos.

¡Estimado feriva! Hola

En el libro de de Matemáticas especiales de la UNED, creo recordar, lo explicaban con ayuda de la secante y quedaba bastante claro

Sí, es muy gráfico.

Sea \( f(x)=\sqrt{x}
  \). Directamente \( f(9)=3
  \), pero \( f(9,013
  \) ya no es fácil.

Tenemos que la pendiente en un punto (x, f(x)) la sabemos calcular con la derivada, siendo el límite de esto que sigue cuando la variación de equis tiende a cero: \( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}=\dfrac{df(x)}{dx}
  \).

Que resulta \( \dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{-2}}
  \) y es 1/6 para x=9.

Si en vez de que tienda a cero, haces que la variación tienda a la mantisa del otro número 0,013, ya no es la pendiente en el punto \( (9,3)
  \), pero es la pendiente en un punto cercano a (9,3), con lo que tal pendiente se parecerá bastante en valor; pues es la pendiente en un extremo de la secante cuando ésta ya está bastante “cortita”, cerca del punto.

Entonces, sustituyendo y aproximando a 1/6

\( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}\approx\dfrac{\sqrt{9+0,013}-\sqrt{9}}{0,013}\approx\dfrac{1}{6}
  \)

despejando

\( \sqrt{9+0,013}\approx\dfrac{0,013}{6}+3=3,00216666...
  \)

Y el valor que da la calculadora es \( \sqrt{9,013}=3,002165885
  \).

O sea, he usado la derivada de f(9) y como variación la mantisa, 0,013.

¿El término "mantisa" en este contexto es parecido al de "parte decimal"?

Bueno, ahora voy a escribir unas líneas de texto del libro de Cálculo, a ver si aporto algo al hilo:

4.7 Aproximaciones lineales
Muchos de los problemas de la matemática aplicada son difíciles de resolver exactamente, y todo lo que podemos esperar es obtener soluciones aproximadas que sean correctas dentro de unos límites pequeños de tolerancia aceptables. En esta sección examinaremos cómo el conocimiento de los valores de una función y de su derivada en un punto nos puede servir para obtener valores aproximados de la función en puntos cercanos.
La tangente a la gráfica \( y=f(x) \) en \( x=a \) describe el comportamiento de dicha gráfica cerca del punto \( P=(a,f(a)) \), mejor que cualquier otra línea recta que pase por \( P \), porque pasa por dicho punto en la misma dirección que la curva \( y=f(x) \) (véase la Figura 4.56). Explotaremos este hecho utilizando la altura hasta la tangente para calcular valores aproximados de \( f(x) \) para valores cercanos a \( a \). La ecuación de la recta tangente es \( y=f(a)+f'(a)(x-a) \)



Denominaremos al miembro derecho de esta ecuación linealización de \( f \) alrededor de \( a \) (o linealización de \( f(x) \)
en \( x=a \)

"DEFINICIÓN 8 La linealización de la función \( f \) alrededor de \( a \) es la función \( L \) definida como

\( L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) \)

Se dice que \( f(x)\approx{L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)} \) proporciona una aproximación lineal de los valores de \( f \) cerca de \( a \)."

El siguiente ejemplo ilustra el uso de la linealización para obtener un valor aproximado de \( \sqrt{26} \)

Ejemplo 3 Utilice la linealización de \( \sqrt{x} \) en \( x=25 \) para obtener un valor aproximado de \( \sqrt{26} \).

Solución Si \( f(x)=\sqrt{x} \), entonces \( f'(x)=1/(2\sqrt{x}) \). Como sabemos que \( f(25)=5 \) y \( f'(25)=1/10 \), la linealización de \( f(x) \) en \( x=25 \) es

\( L(x)=5+\dfrac{1}{10}(x-25) \)

Haciendo \( x=26 \) se obtiene

\( \sqrt{26}=f(26)\approx{L(26)=5+\dfrac{1}{10}(26-25)=5.1} \)

PS: Mi opinión personal es que este mensaje, y este ejemplo en concreto, no significa nada. Tengo que leer (todavía no lo he hecho) el siguiente párrafo, y a continuación introducción del siguiente epígrafe, Análisis del error. Porque la palabra "cerca" de \( a \), es que no.

¡Un saludo!

Es el mismo perro con otro collar.

\( L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
  \).

Teníamos antes \( (x+\Delta x)-x=\Delta x
  \)

Había puesto la expresión así

\( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}
  \)

donde si la variación de “x” tiende a cero es la derivada de f(x); o sea, en ese caso tenemos

\( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}=f'(x)
  \); porque la variación de x tiende a cero.

Ahora, simplemente cambiamos los nombres

Llamamos “equis” a \( (x+\Delta x)
  \) y llamamos \( "a"
  \) a equis. Y entonces con este cambio de letras queda así

\( \dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)}=f'(a)
  \); porque (x-a) tiende a cero.

Estamos llamando f(a) a la función principal. La variación no aparece en la fórmula, está “dentro” de “x”, pues es \( x+\Delta\text{x}
  \); sólo es este pequeño lío con las letras, nada transcendental.

Para saber lo que es L(x) despejamos** de ahí para tener esto \( L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
  \):

\( \dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)}=f'(a)\Rightarrow
  \)

\( f(x)-f(a)=f'(a)(x-a)\Rightarrow
  \)

\( f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
  \)

O sea, es a lo que antes llamábamos \( f(x+\Delta x)
  \), que ahora llamamos f(x).

Pero la “Delta de x” ésa de ahí, en la aproximación, no tiende a cero, es pequeña pero no tanto, y con ello no es exactamente lo que sería al usar la derivada en la igualdad. Entonces, en vez de poner \( {\color{blue}f(x)}=f(a)+f'(a)(x-a)
  \) pone otra letra \( L(x)
  \), porque \( L(x)\approx f(x)
  \), no es exactamente igual.

*Ah, lo otro, sí; la mantisa es la parte decimal.

** Despejo de ahí porque estoy considerando que la variación es pequeña pero no tiende a cero aunque use la derivada; en realidad es una aproximación; si no lo fuera hay que operar el límite, no se puede despejar a la ligera.

Spoiler

Para que quede claro del todo; lo que hago es:

En esta expresión que pongo antes de despejar

\( \dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)}=f'(a)
  \)

\( f'(a)
  \) es la derivada de verdad, con la variación tendiendo a cero (hay que hallarla por el método habitual, lo que supone hallar el límite cuando la variación tiende a cero)

Pero \( f(x)
  \), en realidad está falseada, es \( f(x+\Delta x)
  \) con una variación que no tiende a cero, no es la de verdad que le corresponde a la derivada.

Por la misma razón, (x-a) no tiende a cero, es esa variación.

Eso implica que el signo “=” no sea de verdad, en realidad es \( \approx
  \).

Por tanto, al no ser \( f(x)
  \) la de verdad (es igual a otra cosa muy parecida) y lo mismo con (x-a), cambiamos f(x) por \( L(x)
  \), que es esa cosa muy parecida; y así sí podemos usar el signo "=" y despejar. Y eso es lo que haces en los ejercicios. [/color]

[cerrar]

(Mira a ver si no me he equivocado al decir algo)

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Te dicen que de todas las rectas que pasan por \( (a,f(a)) \) la recta \( L(x) = f'(a) \cdot (x-a) + f(a)  \) es la recta que mejor aproxima y la prueba la puedes hacer por:
\( \displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - L(x)}{x-a} = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) -f(a) - f'(a) \cdot (x-a) }{x-a} = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) -f(a)}{x-a} - f'(a) = f'(a) - f'(a)  \).

Luego \( \dfrac{f(x) - L(x)}{x-a} = \epsilon(x-a)  \) tal que \( \displaystyle \lim_{x \to a} \epsilon(x-a) = 0  \).
Queda \( f(x)-L(x) = (x-a) \cdot \epsilon(x-a)  \) que en \( a \) tiende a cero más rápido que \( x-a \), por ser el producto de dos funciones que tienden a cero cuando \( x \) a a .

Luego cerca de a \( f(x) = L(x) + (x-a) \cdot \epsilon(x-a) \approx L(x)  \)

[Marcos Castillo]

¡Hola, Rincón!

(Mira a ver si no me he equivocado al decir algo)

¡Todo entendido! Perfecto.

Luego \( \dfrac{f(x) - L(x)}{x-a} = \epsilon(x-a)  \) tal que \( \displaystyle \lim_{x \to a} \epsilon(x-a) = 0  \).
Queda \( f(x)-L(x) = (x-a) \cdot \epsilon(x-a)  \) que en \( a \) tiende a cero más rápido que \( x-a \), por ser el producto de dos funciones que tienden a cero cuando \( x \) a a .

¿No sería "que en \( a \) tiende a cero más rápido que \( \epsilon(x-a) \)"? Perdón, pero, para estar seguro, me gustaría preguntar por qué debería ser lo que digo. O por qué no, si no he dicho bien. O por qué sería indiferente afirmar que cuando \( x\rightarrow{a} \), bien \( (x-a)\rightarrow{0} \), bien \( \epsilon(x-a)\rightarrow{0} \).

Mi idea: Está bien dicho que tiende a cero más rápido que \( (x-a) \), porque se refiere a \( \epsilon(x-a) \), siempre que \( 0<\epsilon<1 \).

¡Un saludo!

[Juan Pablo Sancho]

Pero \( \epsilon(x-a) \cdot (x-a)  \) tiende a cero más rápido que \( \epsilon(x-a)  \) y \( x-a \) por que es el producto de dos que se van a cero.
La idea era que vieras que \( f(x) -L(x) \) cerca de \( a \) tiende a cero muy rápidamente.
Cuando puse \( \epsilon \) lo puse como función podría haber puesto:
\( \dfrac{f(x)-L(x)}{x-a} = k(x-a)  \) con \( \displaystyle \lim_{x \to a} k(x-a) = 0 \).

[feriva]

Quiero hacer una reflexión en voz alta.

Creo que mejor debería decir “en general es la mejor aproximación (si nos referimos a puntos muy cercanos, la idea es cierta para todas las funciones, si no, puede haber varios puntos (x,f(x)) incluso infinitos, por los que se aproxime igual de bien)”; o sea, aquí donde dice “La tangente a la gráfica y=f(x) en x=a describe el comportamiento de dicha gráfica cerca del punto P=(a,f(a)), mejor que cualquier otra línea recta que pase por P”, tiene un matiz.

Lo de que es la recta que mejor se aproxima creo que se puede ver incluso hasta cuando la función es la propia recta (en vez de una curva). No sirve para nada útil, como hallar la aproximación de una raíz, pero sí se vislumbra.

Tomo una pendiente cualquiera m=2 y un punto cualquiera p=(1,6).

La ecuación punto pendiente es ésta \( \dfrac{f(x)-6}{x-1}=2
  \);

Si hago lo habitual, dando un valor arbitrario a “x” y entro en la ecuación, me da siempre el valor de “y” de verdad; porque la pendiente es igual para toda la función; no hace falta que haga x=1,0001 para hallar “y” ó y=6,0001 para hallar “x”, cualquier punto lejano sirve (siempre que sea un punto de la función, de la recta).

En una curva, en general, sólo tenemos un punto en la función, sólo uno que también pertenezca a la recta tangente, no se pueden elegir puntos “lejanos” para restarlos y hallar el vector, no queda más remedio que tomar el del “al lado”.

Por eso, las coordenadas del vector, del verdadero (dx, df(x)), serán siempre, en valor, (0,0) para cualquier tangente a una curva (al operar la derivada se deshace la indeterminación 0/0 y se sabe la pendiente y, con el punto, se halla la ecuación, pero el vector sigue siendo (0,0)).

Lógicamente, el mejor vector, en general, para hallar una expresión aproximada será el que, a través de la razón de sus coordenadas, se aproxime más al valor de la pendiente; en general necesitamos un punto muy cercano al de tangencia.

En general, pero no en particular y no sólo porque la función pueda ser una recta.

Imaginemos una función sinusoidal, la recta tangente a un punto P puede cortar a la función en otro punto Q; entonces el vector \( Q-P
  \) tiene exactamente la misma pendiente que el vector \( (dx,dy)
  \) siendo P y Q puntos de la función; y, sin embargo, el punto Q puede estar lejos del punto \( P=(a,f(a)) \), puede estar donde Cristo dio la tres voces.

La cuestión más principal, más que el hecho de que, en general, tenga que estar muy cerca de P, es que ese punto esté en “f”, esté en la curva, porque puede haber otro mejor o tan bueno que esté pegado a la curva pero por fuera.

Aquí \( \dfrac{f(x)-L(x)}{x-a}=k(x-a)
  \), cuanto más se parece la coordenada “x” a “a”, más pequeño es \( (x-a)^{2}
  \), porque \( (x-a)=\dfrac{1}{r}
  \) con \( r>1 \). Pero según cambiemos x cambiaremos “k” y podemos preguntar igualmente si ese “k” es el mejor “k”. En general, lo es, y la razón está en que si encontramos otro mejor, entonces L no es f (porque L es f, \( L(x)=f(a+\Delta a)
  \)) y en ese caso el punto \( (x,\, L(x))
  \)) estaría fuera de la curva.

Saludos.