Hola, estimado Rincón, creía haberlo solucionado casi, pero redactando el mensaje me han surgido dos dudas. Primero repito el enunciado del Teorema 8, y luego las soluciones y las dudas 1 y 2.
La iteración del método del punto fijo no funciona siempre. Funciona para una clase particular de funciones. El siguiente teorema garantiza que la iteración del método del punto fijo funciona para ciertas funciones:
TEOREMA 8 Un teorema del punto fijoSupongamos que \( f \) está definida en un intervalo \( I=[a,b] \) y cumple las dos siguientes condiciones:
(i) \( f(x) \) pertenece a \( I \) siempre que \( x \) pertenezca a \( I \).
(ii) Existe una constante \( K \), con \( 0<K<1 \), tal que para todos \( u \) y \( v \) pertenecientes a \( I \),
\( |f(u)-f(v)|\leq K|u-v| \)
Entonces \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \), es decir, \( f(r)=r \), y empezando con cualquier número \( x_0 \) en \( I \), las iteraciones
\( x_1=f(x_0),\qquad x_2=f(x_1),... \)
convergen a \( r \).
Prueba(a) La condición (ii) del Teorema 8 implica que \( f \) es continua en \( I=[a,b] \). Utilice la condición (i) para demostrar que \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \).
Sugerencia: Aplique el Teorema del Valor Intermedio a \( g(x)=f(x)-x \) en \( [a,b] \)
(b) Utilice la condición (ii) del Teorema 8 e inducción matemática para demostrar que
\( |x_n-r|\leq K^{n}|x_0-r| \)
Como \( 0<K<1 \), sabemos que \( K^{n}\rightarrow{0} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Esto demuestra que \( \lim_{n\rightarrow{\infty}}{x_n}=r \).
(a)
1) Justificar que \( g(x) \) es continua en \( [a,b] \). Ya probado.
2) Si \( g(a)=0 \) o \( g(b)=0 \), comprobar que ya tenemos punto fijo. Fácil
3) De otra forma, probar que \( g(a) \) y \( g(b) \) tienen diferentes signos. Una raíz de \( g(x) \) cumple que \( f(c)-c=0 \)
Si \( g(a)\neq 0 \), y \( g(b)\neq 0 \)... Se observa que si \( f(I)\subseteq{I} \), concluímos que \( f(a)\geq a \) y \( f(b)\leq b \). Aplicado esto a \( g(x)=f(x)-x \), \( g(a)\geq 0 \) y \( g(b)\leq 0 \). Teorema de Bolzano: existe un \( \delta\in{[a,b]} \) tal que \( g(\delta)=\delta \)
Esta es la solución que me han proporcionado. Pero, ¿por qué si \( f(I)\subseteq{I} \), concluímos que \( f(a)\geq a \) y \( f(b)\leq b \)?
\( I \) está definido como \( [a,b] \), es decir, como \( \{x\in\Bbb{R}\;:\;a\leq x\leq b\} \). De esta forma, decir que \( f(a) \) está en \( I \) es otra forma de decir que \( f(a) \) es real y \( f(a)\geq{a} \) y \( f(a)\leq{b} \). Similarmente para \( f(b) \)
Duda 1: ¿Por qué \( f(I)\subseteq{I} \) implica \( f(a)\geq{a} \) y \( f(a)\leq{b} \). Similarmente por qué \( f(b)\leq{a} \) y \( f(b)\geq{b} \) (no estoy seguro de estas dos últimas desigualdades)
(b)
Utilice la condición (ii) del Teorema 8 e inducción matemática para demostrar que
\( |x_n-r|\leq K^{n}|x_0-r| \)
Como \( 0<K<1 \), sabemos que \( K^{n}\rightarrow{0} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Esto demuestra que \( \lim_{n\rightarrow{\infty}}{x_n}=r \).
Debemos probar que
\( |x_n-r|\leq K^n |x_0-r| \)
1-Observemos para \( n=1 \) y \( n=2 \) (probar base inductiva)
\( |x_1-r|=|f(x_0)-f(r)|\leq K|x_0-r| \)
\( |x_2-r|=|f(x_1)-f(r)|\leq K|x_1-r|\leq\cdot K\cdot |x_0-r|=K^2|x_0-r| \)
2-Asumamos \( n=s \) (plantear la hipótesis)
\( |x_s-r|\leq K^s |x_0-r| \)
3- Demostrar igualdad \( n=s+1 \), para \( s\in{\Bbb{K}} \)
\( |x_{s+1}-r|=|f(x_s)-f(r)|\leq K^{s+1}|x_0-r| \)
Pero \( \begin{cases}K\in{\Bbb{R}}\quad{0<K<1}\\s\in{\Bbb{N}}\end{cases}\Rightarrow{K^{s+1}<K^s} \)
\( |x_{s+1}-r|=|f(x_s)-f(r)|\leq K|x_s - r|\leq K \cdot K^s|x_0-r|= K^{s+1}|x_0-r| \)
Duda 2: me lío. Digo "Pero" hace dos líneas y escribo \( < \):sin embargo en la línea siguiente son \( \leq{} \)
¡Un saludo!
