[Marcos Castillo]

Hola, estimado Rincón

La iteración del método del punto fijo no funciona siempre.



Funciona para una clase particular de funciones. El siguiente teorema garantiza que la iteración del método del punto fijo para cuáles:

TEOREMA 8 Un teorema del punto fijo

Supongamos que \( f \) está definida en un intervalo \( I=[a,b] \) y cumple las dos siguientes condiciones:

(i) \( f(x) \) pertenece a \( I \) siempre que \( x \)  pertenezca a \( I \).
(ii) Existe una constante \( K \), con \( 0<K<1 \), tal que para todos \( u \) y \( v \) pertenecientes a \( I \),

\( |f(u)-f(v)|\leq K|u-v| \)

Entonces \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \), es decir, \( f(r)=r \), y empezando con cualquier número \( x_0 \) en \( I \), las iteraciones

\( x_1=f(x_0),\qquad x_2=f(x_1),... \)

convergen a \( r \).

Prueba

La condición (ii) del Teorema 8 implica que \( f \) es continua en \( I=[a,b] \). Utilice la condición (i) para demostrar que \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \).
Sugerencia: Aplique el Teorema del Valor Intermedio a \( g(x)=f(x)-x \) en \( [a,b] \)

Utilice la condición (ii) del Teorema 8 e inducción matemática para demostrar que

\( |x_n-r|\leq K^{n}|x_0-r| \)

Como \( 0<K<1 \), sabemos que \( K^{n}\rightarrow{0} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Esto demuestra que \( \lim_{n\rightarrow{\infty}}{x_n}=r \).

Pregunta: Pistas para arrancar yo solo

¡Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Funciona para una clase particular de funciones. El siguiente teorema garantiza que la iteración del método del punto fijo para cuáles:

TEOREMA 8 Un teorema del punto fijo

Supongamos que \( f \) está definida en un intervalo \( I=[a,b] \) y cumple las dos siguientes condiciones:

(i) \( f(x) \) pertenece a \( I \) siempre que \( x \)  pertenezca a \( I \).
(ii) Existe una constante \( K \), con \( 0<K<1 \), tal que para todos \( u \) y \( v \) pertenecientes a \( I \),

\( |f(u)-f(v)|\leq K|u-v| \)

Entonces \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \), es decir, \( f(r)=r \), y empezando con cualquier número \( x_0 \) en \( I \), las iteraciones

\( x_1=f(x_0),\qquad x_2=f(x_1),... \)

convergen a \( r \).

Prueba

La condición (ii) del Teorema 8 implica que \( f \) es continua en \( I=[a,b] \). Utilice la condición (i) para demostrar que \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \).
Sugerencia: Aplique el Teorema del Valor Intermedio a \( g(x)=f(x)-x \) en \( [a,b] \)

Utilice la condición (ii) del Teorema 8 e inducción matemática para demostrar que

\( |x_n-r|\leq K^{n}|x_0-r| \)

Como \( 0<K<1 \), sabemos que \( K^{n}\rightarrow{0} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Esto demuestra que \( \lim_{n\rightarrow{\infty}}{x_n}=r \).

Pregunta: Pistas para arrancar yo solo

Mi primera sugerencia es que si te dan una indicación en el problema... ¡intentes seguirla!.

Aplique el Teorema del Valor Intermedio a \( g(x)=f(x)-x \) en \( [a,b] \)

¿Lo has intentado?. ¿Dificultades?.

Utilice la condición (ii) del Teorema 8 e inducción matemática para demostrar que

\( |x_n-r|\leq K^{n}|x_0-r| \)

Aquí la idea es que si \( r \) es el punto fijo entonces \( f(r)=r \) y por la condición(ii):

\( |x_1-r|=|f(x_0)-f(r)|\leq K|x_0-r| \)

\( |x_2-r|=|f(x_1)-f(r)|\leq K|x_1-r|\leq K\cdot K\cdot |x_0-r|=K^2|x_0-r| \)

...

Saludos.

[Marcos Castillo]

Mi primera sugerencia es que si te dan una indicación en el problema... ¡intentes seguirla!.

En Physics Forums he querido también conseguir pistas, para en concreto saber por qué la desigualdad \( |f(u)-f(v)|\leq K|u-v| \) implica continuidad

Continuidad de \( f \) en \( I=[a,b] \) significa que para todo \( v\in{I} \) y \( \epsilon>0 \) podemos encontrar un \( \delta>0 \) tal que \( \forall{u\in{I}} \) tenemos \( |f(u)-f(v)|<\epsilon \).
Dado \( K \), \( \epsilon \) y \( v \), ¿ cómo usarías la desigualdad dada en el mensaje inicial para encontrar un \( \delta \) que satisfaga la requerida condición de continuidad?

\( \epsilon=K|u-v| \), con \( K\in{\Bbb{R}} \) y \( 0<K<1 \). Es decir, \( K \) es la constante que relaciona \( \epsilon \) con el \( \delta \) buscado: \( \delta=|u-v| \)

Preguntas:

1- ¿He acertado, y por qué?
2- Aunque haya acertado, o no, ¿ cómo puedo apoyarme en Geogebra? Es decir, \( \epsilon \) y \( \delta \) son valores absolutos. ¿Cómo se ve esto en unas coordenadas cartesianas?



3- ¿Hay algo aprovechable en mi relato?

¡Un saludo!

[Marcos Castillo]

Hola, estimado Rincón

 ¿Hay algo aprovechable en mi relato?

Esto es lo único aprovechable del anterior mensaje: que intuía que no había nada aprovechable. Otra intuición que tengo es que me toca trabajar un poco, yo solo.

¡Un cordial saludo! Estamos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Perdona; tenía pendiente contestarte y me despisté.

\( \epsilon=K|u-v| \), con \( K\in{\Bbb{R}} \) y \( 0<K<1 \). Es decir, \( K \) es la constante que relaciona \( \epsilon \) con el \( \delta \) buscado: \( \delta=|u-v| \)

 El \( \epsilon \) es un valor dado; no puede escoger tu el que quieras. Ahora necesitamos escoger un \( \delta \) que nos garantice que si \( |u-v|<\delta \) entonces \( |f(u)-f(v)|<\epsilon \)

 Para ello sabemos que \( |f(u)-f(v)|<K|u-v| \). Entonces si \( |u-v|<\delta \) tendríamos:

 \( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta \)

para poder garantizar que eso es menor que \( \epsilon \), es decir, \( K\delta<\epsilon \) basta escoger \( \delta<\epsilon/K \) (por ejemplo por concretar \( \delta<\epsilon/(2K) \) )

2- Aunque haya acertado, o no, ¿ cómo puedo apoyarme en Geogebra? Es decir, \( \epsilon \) y \( \delta \) son valores absolutos. ¿Cómo se ve esto en unas coordenadas cartesianas?

No estoy seguro de entender la pregunta. \( \epsilon \)  y \( \delta \) son radios de entornos (intervalos) que tomamos respectivamente centrados en la imagen del punto y en en punto.

3- ¿Hay algo aprovechable en mi relato?

Aunque falles estrepitosamente en las conclusiones, intentando hacer las cosas y equivocándose es como se aprende. Así que todo es aprovechable.

Saludos.

[Marcos Castillo]

El \( \epsilon \) es un valor dado; no puede escoger tu el que quieras. Ahora necesitamos escoger un \( \delta \) que nos garantice que si \( |u-v|<\delta \) entonces \( |f(u)-f(v)|<\epsilon \)

 Para ello sabemos que \( |f(u)-f(v)|<K|u-v| \). Entonces si \( |u-v|<\delta \) tendríamos:

 \( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta \)

Perfecto

para poder garantizar que eso es menor que \( \color{red}\delta \), es decir, \( K\delta<\color{red}\delta \) basta escoger \( \delta\color{red}\leq\color{black}\epsilon/K \) (por ejemplo por concretar \( \delta\color{red}\leq\color{black}\epsilon/(2K) \) )

Yo lo escribiría así en el caso de esta cita.

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<\delta\Rightarrow{k\delta<\delta}\rightarrow{\delta\leq{(\epsilon/k)}} \)

Pero no estoy seguro de haber entendido la cita de Luis que he chapuceado de color rojo.

No estoy seguro de entender la pregunta. \( \epsilon \)  y \( \delta \) son radios de entornos (intervalos) que tomamos respectivamente centrados en la imagen del punto y en en punto.

Era una pregunta que en la imagen adjuntada posteriormente se aclaraba (pero no lo he sabido hasta hace poco tiempo)

Aunque falles estrepitosamente en las conclusiones, intentando hacer las cosas y equivocándose es como se aprende. Así que todo es aprovechable.

¡Gracias!

[Marcos Castillo]

La gran pregunta es: ¿por qué el valor absoluto del cociente de Newton acotado implica continuidad?

Todavía tengo incertidumbre, pero pienso lo siguiente después de haber leído el libro de texto (Calculus, a complete course, 9th edition, Robert A. Adams, Christopher Essex): "(...) una precisa definición de límite está basada en la idea de controlar la entrada \( x \) de una función \( f \) tal que la salida \( f(x) \) permanezca en un intervalo específico. Cuando decimos que \( f(x) \) tiene límite \( L \) cuando \( x \) se aproxima a \( a \), estamos realmente diciendo que podemos asegurar que el error \( |f(x)-L| \) será menor que cualquier tolerancia admisible, no importa cuán pequeña, tomando un \( x \) suficientemente cercano a \( a \) (pero no igual a \( a \))." Estas palabras significan que

\( \dfrac{f(u)-f(v)}{u-v} \)

está acotado por \( K \), es decir, tendremos un límite para ese cociente de Newton, y por lo tanto una derivada, y finalmente continuidad.
¿Es correcto?

¡Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Yo lo escribiría así en el caso de esta cita.

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<\delta\Rightarrow{k\delta<\delta}\rightarrow{\delta\leq{(\epsilon/k)}} \)

Pero no estoy seguro de haber entendido la cita de Luis que he chapuceado de color rojo.

Si pones esto:

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<\delta \)

Eso está mal, sería (usando que trabajamos bajo la hipótesis \( |u-v|<\delta \), aún a falta de saber que \( \delta \) debemos de escoger):

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta \)

y lo que has corregido en rojo está mal.

Nosotros queremos conseguir:

OBJETIVO: \( |f(u)-f(v)|<\epsilon \) bajo el supuesto de que \( |u-v|<\delta \).

Sabemos por el momento que:

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta \)

Entonces completaríamos la prueba si fuesemos capaces de asegurar que \( K\delta<\epsilon \) porque en ese caso tendríamos:

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta\color{red}<\color{black}\epsilon \)

Entonces tenemos que es coger un \( \delta \) que nos garantice que ese menor que he puesto en rojo se cumple.

Ahora vuelve a releer mi anterior mensaje.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

La gran pregunta es: ¿por qué el valor absoluto del cociente de Newton acotado implica continuidad?

Todavía tengo incertidumbre, pero pienso lo siguiente después de haber leído el libro de texto (Calculus, a complete course, 9th edition, Robert A. Adams, Christopher Essex): "(...) una precisa definición de límite está basada en la idea de controlar la entrada \( x \) de una función \( f \) tal que la salida \( f(x) \) permanezca en un intervalo específico. Cuando decimos que \( f(x) \) tiene límite \( L \) cuando \( x \) se aproxima a \( a \), estamos realmente diciendo que podemos asegurar que el error \( |f(x)-L| \) será menor que cualquier tolerancia admisible, no importa cuán pequeña, tomando un \( x \) suficientemente cercano a \( a \) (pero no igual a \( a \))." Estas palabras significan que

\( \dfrac{f(u)-f(v)}{u-v} \)

está acotado por \( K \), es decir, tendremos un límite para ese cociente de Newton, y por lo tanto una derivada, y finalmente continuidad.

Que te asegura una derivada no es cierto; ese cociente podría estar acotado pero no existir el límite del mismo. Por ejemplo si consideras la función valor \( f(x)=|x| \) se tiene que:

\( \dfrac{|f(u)-f(v)|}{|u-v|}=\color{red}\dfrac{||u|-|v||}{|u-v|}\color{black}\leq 1 \)

Pero la función valor absoluto no es derivable en cero.

Lo que dice la acotación de ese cociente es que "puntos cercanos van a puntos cercanos" (idea de continuidad); si puntos cercanos (denominador pequeño) fuesen a puntos no cercanos (numerador grande) ese cociente no estaría acotado.

Vaya por delante que esto es una idea informal; la prueba es lo que estabas intentado antes. Las ideas informales están bien para ayudar a entender; pero no se debe de perder de vista que informalmente y con palabras que "suenan bien" uno podría llegar a justificar resultados falsos. Entonces está bien mezclar intuición y rigurosidad.

Saludos.

CORREGIDO

[Marcos Castillo]

Nosotros queremos conseguir:

OBJETIVO: \( |f(u)-f(v)|<\epsilon \) bajo el supuesto de que \( |u-v|<\delta \).

Sabemos por el momento que:

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta \)

Entonces completaríamos la prueba si fuesemos capaces de asegurar que \( K\delta<\epsilon \) porque en ese caso tendríamos:

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta\color{red}<\color{black}\epsilon \)

Entonces tenemos que es coger un \( \delta \) que nos garantice que ese menor que he puesto en rojo se cumple.

Perfecto. Una pregunta: hemos realizado una prueba epsilon-delta, lo cual implica que \( f \) es continua en \( I=[a,b],\quad{\forall{u,v\in{I}}} \). Realizaré la pregunta en la próxima cita que hago a continuación;

está acotado por \( K \), es decir, tendremos un límite para ese cociente de Newton, y por lo tanto una derivada, y finalmente continuidad.

Que te asegura una derivada no es cierto; ese cociente podría estar acotado pero no existir el límite del mismo. Por ejemplo si consideras la función valor \( f(x)=|x| \) se tiene que:

\( \dfrac{|f(u)-f(v)|}{|u-v|}={||u|-|v||}{|u-v|}\leq 1 \)

Pero la función valor absoluto no es derivable en cero.

Lo que dice la acotación de ese cociente es que "puntos cercanos van a puntos cercanos" (idea de continuidad); si puntos cercanos (denominador pequeño) fuesen a puntos no cercanos (numerador grande) ese cociente no estaría acotado.


Entonces está bien mezclar intuición y rigurosidad.

Intuición: lo que dice la acotación de ese cociente es que "puntos cercanos van a puntos cercanos" (idea de continuidad)
Rigurosidad: se ha probado formalmente la continuidad

Preguntas: ¿qué tipo de continuidad se formula intuitivamente?;¿hay que contextualizar la prueba formal? Está claro que intuitivamente, por sí misma, no funciona.

¡Un saludo!