[Santtt]

Buenas foro, les hago una consulta tengo el siguiente problema :

Verificar que  :

\( \sqrt[]{2}\left |{z}\right | \geq{Re(z) + Im(z)} \)

Sabiendo que \(  z = a + bi  \)
y \(  \left |{z}\right | = \sqrt[ ]{a^2 + b^2}  \)

Por otra parte la parte real de Re(z)  es \(  a  \)
y la parte imaginaria de Im(z) es \(  b  \)

Procedo a sustituir

\(  \sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{a^2 + b^2} \geq{a + b} \)

Procedo a elevar todo al cuadrado para quitarme las raices :

\(  2a² + 2b^2\geq{(a+b)^2}  \)

Resolvemos

\(  2a² + 2b² \geq{a² + 2ab + b²}  \)

\(  a^2 + b² - 2ab \geq{0}  \)

Por lo tanto esto es :

\(  (a - b)² \geq{0}  \)

Esto es verdadero ya que  el  cuadrado de cualquier número real siempre es no negativo . ..

Ahora mi pregunta con esto alcanza para verificar el enunciado original ? o simplemente hice cálculos sin sentido ... 

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas foro, les hago una consulta tengo el siguiente problema :

Verificar que  :

\( \sqrt[]{2}\left |{z}\right | \geq{Re(z) + Im(z)} \)

Sabiendo que \(  z = a + bi  \)
y \(  \left |{z}\right | = \sqrt[ ]{a^2 + b^2}  \)

Por otra parte la parte real de Re(z)  es \(  a  \)
y la parte imaginaria de Im(z) es \(  b  \)

Procedo a sustituir

\(  \sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{a^2 + b^2} \geq{a + b} \)

Procedo a elevar todo al cuadrado para quitarme las raices :

\(  2a² + 2b^2\geq{(a+b)^2}  \)

Resolvemos

\(  2a^2 + 2b^2 \geq{a^2 + 2ab + b^2}  \)

\(  a^2 + b² - 2ab \geq{0}  \)

Por lo tanto esto es :

\(  (a - b)^2 \geq{0}  \)

Esto es verdadero ya que  el  cuadrado de cualquier número real siempre es no negativo . ..

Ahora mi pregunta con esto alcanza para verificar el enunciado original ? o simplemente hice cálculos sin sentido ... 

Está bien, siempre que todos los casos sean equivalencias, es decir, implicaciones en los dos sentidos o al menos desde "adelante hacia atrás".

La única conflictiva es esta:

\(  \sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{a^2 + b^2} \geq{a + b} \)

Procedo a elevar todo al cuadrado para quitarme las raíces :

\(  2a^2 + 2b^2\geq{(a+b)^2}  \)

No es cierto que: \( A\geq B \quad \Rightarrow{}\quad A^2\geq B^2 \) a no ser que \( B>0 \).

Pero SI es cierto que si \( A^2\geq B^2 \) entonces \( |A|\geq |B|\geq B \) y te llega esto para lo que quieres. Tendrías que:

\(  2a^2 + 2b^2\geq{(a+b)^2}\quad \Rightarrow{}\quad \sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{a^2 + b^2} \geq |a + b|\geq a+b  \)

Saludos.

[Santtt]

Muchas gracias Luis !

Bueno no estaba tan mal, solo tengo que tener esas consideraciones en cuenta ! Saludos