[Michel]

Se consideran los triángulos que tienen dos lados de longitudes fijas. ¿Cuál de esos triángulos es el que tiene el área máxima?

Figura

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Sea el triángulo ABC (archivo adjunto) en el que los lados AB y AC tienen longitudes fijas; tomando como baso AB, el área será máxima cuando sea máxima la altura CH, y esto ocurre cuando el triángulo es rectángulo: el ABC'.

Otra forma: el área viene dada por 1/2 (AB·AC sen A); como AB y AC son fijos, el área será máxima cuando sea máximo sen A, esto es, cuando A=90º.

[Michel]

9.¿Qué relación hay entre las áreas de los triángulos sombreados?

Figura

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Los triángulos ABD y ACD tienen la misma base AD es igual altura (distancia de B y C a AD), luego son equivalentes.

Se de ambos triángulos restamos el triángulo AED, resultan los triángulos sombreados, que serán equivalentes.

[Michel]

10. Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perímetro. Hallar la relación entre sus áreas.

Figura

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Si los dos polígonos tienen el mismo perímetro, el lado del triángulo equilátero será doble del lado del hexágono.

Entonces los dos polígonos se pueden descomponer en triángulos equiláteros iguales, 6 el hexágono y 4 el triángulo.

La relación de las áreas del hexágono y del triángulo será 3/2

[Michel]

12. El hexágono regular estrellado de la figura está formado por dos triángulos equiláteros de 36 u.s. cada uno. ¿Cuál es la superficie del hexágono sombreado?

Figura

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Cada triángulo equilátero de los que forman el hexágono estrellado tiene 9 triángulos pequeños; cada uno medirá 4 u.s.

El hexágono sombreado está formado por 6; luego su área será 24 u.s.

[Michel]

13. Construir un cuadrado cuya área sea doble que la de otro dado. Idem mitad.

Figura

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Si ABCD es el cuadrado dado, el AEFC, de lado la diagonal de aquel, tiene área doble: el primero está formado por dos triángulos rectángulos isósceles iguales y el segundo por cuatro.

Y el MNPQ, cuyos vértices son los puntos medios de los lados, tiene área mitad: el ABCD está formado por ocho triángulos y el otro por cuatro.

[Michel]

15. Hallar el área de un cuadrilátero conociendo las longitudes de las diagonales, que son perpendiculares.

Figura

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Designamos con [XYZ] el área de la figura XYZ.

[ABCD]=[ADC]+[ABC]=1/2(AC·OD)+1/2(AC·OB)=1/2 AC(OD+OB)=1/2 (AC·DB)

Resulta que el área es igual al semiproducto de las diagonales.

[Michel]

16. Dado un trapecio rectángulo: a) dividirlo en dos figuras de igual área. b) dividirlo en cuatro figuras iguales.

Figura

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Ver figura adjunta

[Michel]

17. Prolongamos cada lado de un triángulo ABC una longitud igual al lado, obteniéndose el triángulo KLM. Comparar las áreas de los triángulos KLM y ABC.

Figura

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Se basa este problema en que una mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos equivalentes.

Entonces: el tr 1 es equivalente al ABC porque AB es mediana del triángulo KBC.
El tr 1 y el 2 también lo son porque KB es mediana del triángulo KAL.

Y así con los demás.

Se llega a que el área del triángulo KLM es 6 veces la del ABC.

[Michel]

18. M es el punto medio de la diagonal AC de un cuadrilátero ABCD. Comparar las áreas de los cuadriláteros ABMD y CBMD.

Figura

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Los triángulos 1 y 2 son equivalentes por ser DM mediana del triángulo DAC.

Análogamente son equivalentes el 3 y 4.

La suma de 1 y 3 será igual a la suma de 2 y 4.

[Michel]

19. ¿Qué relación hay entre el área del rectángulo y el área del romboide?

Figura

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El triángulo 1 tiene la misma base y doble altura que el rectángulo; luego son equivalentes. Igual el 2.

El triángulo 3 tiene doble base y la misma altura que el rectángulo; son equivalentes. Igual el 4.

Entonces el área del romboide es 5 veces la del rectángulo.