Hola
El triángulo dado es isósceles. Sea \( y \) su altura y \( x \) su semibase. Se tiene que:
\( x^2+y^2=14^2 \) (*)
Ahora por semejanza de triángulos \( AEK \), \( BDL \), \( ACO \):
\( EK=\dfrac{4y}{14},\qquad DL=\dfrac{5y}{14} \)
\( AK=\dfrac{4x}{14},\qquad LB=\dfrac{5x}{14} \)
\( KL=2x-AL-LB=\dfrac{19x}{14} \)
\( DN=DL-EK=\dfrac{y}{14} \)
Además:
\( r=\dfrac{EK+DL}{2}=\dfrac{9y}{28} \) (base media del trapecio \( KEDL \)). (**)
En el triángulo rectángulo \( EDN \):
\( 2r^2=EN^2+DN^2=KL^2+DN^2 \quad \Leftrightarrow{}\quad (9y/14)^2=(19x/14)^2+(y/14)^2 \) (***)
De (*) y (***) se obtiene que \( y=38/3 \)
Y de (**) \( r=\dfrac{57}{14} \).
Saludos.
