[S@lvador]

Hola amigos, tengo el siguiente problema

La vida  útil de los  átomos de radón sigue una ley exponencial. La probabilidad de que un  átomo de radón no se desintegre en 40s sabiendo que no se desintegra en 12s es\( \frac{\sqrt{2}}{2} \) ¿Cúal es la probabilidad de que no se desintegre antes de los 76s sabiendo que no se descompone en 20s?

Imagino que debo utilizar la propiedad de perdida de memoria de la v.a exponencial, pero no logro acodar bien los datos

[martiniano]

Hola.

EDITADO
Llamemos a esa vida útil \( X=\exp(\lambda)  \). Primero calcula el parámetro para que se cumpla \[ P[X \geq{40}/X\geq{12}]=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \].

Una vez hecho esto, puedes responder a la primera pregunta calculando la probabilidad \[ P[X\geq{40}] \], y a la segunda calculando \[ P[X\geq{}76/X\geq{20}]  \].

Si necesitas más detalles insiste. Un saludo.

[robinlambada]

Hola

Hola amigos, tengo el siguiente problema

La vida  útil de los  átomos de radón sigue una ley exponencial. La probabilidad de que un  átomo de radón no se desintegre en 40s sabiendo que no se desintegra en 12s es\( \frac{\sqrt{2}}{2} \) ¿Cúal es la probabilidad de que no se desintegre antes de los 76s sabiendo que no se descompone en 20s?

Imagino que debo utilizar la propiedad de perdida de memoria de la v.a exponencial, pero no logro acodar bien los datos

la verdad es que no me parece muy bien definido el problema.

La ley de desintegración radiactiva ciertamente es exponencial, sigue: \( N=N_o e^{-\frac{t}{T}} \)

Con N el número de partículas sin desintegrar, \( N_o \) el inicial y \( T \), el tiempo de vida medio.

Teóricamente con cuerpo radiactivo tarda tiempo infinito en desintegrarse por completo, esto puede ser un problema, habría que saber que se entiende en el problema por desintegrarse completamente.

Podría pensarse que la probabilidad de desintegración en un instante dado es la razón entre partículas desintegradas y totales.

Es decir: \( P(t)=\displaystyle\frac{N_o-N}{N_o}=1-e^{-\frac{t}{T}} \) ( No se si realmente esta idea puede ayudar en algo, teniendo en cuenta que T es el tiempo de vida media , el valor esperado de la variable t)

Lo que no encajo bien es la probabilidad condicional como interpretarla algebraicamente, la intuición me sugiere que el tiempo a sustituir en la exponencial sería en el primer caso \( t=40-12 \) y en el segundo \( t=76-20 \), hallando primero el parámetro T, o si por el contrario que sea T la vida media juega un papel importante.

Pero claro todo esto son hipótesis, realmente no lo deja muy claro el enunciado.

Saludos.

[robinlambada]

Hola.

Llamemos a esa vida útil \( X=\exp(\lambda)  \). Primero calcula el parámetro para que se cumpla \[ P[X\geq{12}]=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \].

Una vez hecho esto, puedes responder a la primera pregunta calculando la probabilidad \[ P[X\geq{40}] \], y a la segunda calculando \[ P[X\geq{}76/X\geq{20} \].

Si necesitas más detalles insiste. Un saludo.

En el enunciado no da como dato  \[ P[X\geq{12}]=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \], si no \( P[X\geq{}40/X\geq{12}]=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \)

Saludos.

[martiniano]

Hola.

En el enunciado no da como dato  \[ P[X\geq{12}]=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \], si no \( P[X\geq{}40/X\geq{12}]=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \)

Tienes razón. Gracias robinlambada. Interpreté mal el enunciado por asumir que tenía una errata que no existía. He editado mi respuesta anterior.

Enlazo también lo que dice la Wikipedia sobre la distribución exponencial, por si sirve de algo.

Un saludo.

[Masacroso]

Yo también veo que no está bien formulado. Debería ser la probabilidad de que no se desintegre en 40s sabiendo que no se ha desintegrado en los primeros doce. Como la desintegración radiactiva es un proceso de Poisson entonces efectivamente la probabilidad de producirse una desintegración en un intervalo de tiempo sigue una distribución exponencial.

La distribución exponencial carece de memoria, por tanto \( \Pr [T>40|T>12]=\Pr [T>40-12]=\Pr [T>28]=\sqrt{2}/2=e^{-28/\lambda } \), lo cual nos da el valor de la vida media de \( T \).

La segunda parte del ejercicio también se presta a confusión, debería ser más bien que no se ha descompuesto, no que no se descompone (en tiempo presente). En esencia te piden calcular \( \Pr [T>76-20] \).

Corrección: perdón, la vida media es otra cosa, ahí \( \lambda  \) es la media de la variable aleatoria \( T \).


Aclaración: ahí \( T \) representa el tiempo hasta la primera desintegración a partir de un instante dado cualquiera.

[S@lvador]

Yo también veo que no está bien formulado. Debería ser la probabilidad de que no se desintegre en 40s sabiendo que no se ha desintegrado en los primeros doce. Como la desintegración radiactiva es un proceso de Poisson entonces efectivamente la probabilidad de producirse una desintegración en un intervalo de tiempo sigue una distribución exponencial.

La distribución exponencial carece de memoria, por tanto \( \Pr [T>40|T>12]=\Pr [T>40-12]=\Pr [T>28]=\sqrt{2}/2=e^{-28/\lambda } \), lo cual nos da el valor de la vida media de \( T \).

La segunda parte del ejercicio también se presta a confusión, debería ser más bien que no se ha descompuesto, no que no se descompone (en tiempo presente). En esencia te piden calcular \( \Pr [T>76-20] \).

Corrección: perdón, la vida media es otra cosa, ahí \( \lambda  \) es la media de la variable aleatoria \( T \).


Aclaración: ahí \( T \) representa el tiempo hasta la primera desintegración a partir de un instante dado cualquiera.

Hola
¿Entonces me quedaría de la forma \( \Pr [T>76-20]= \Pr [T>56]= e^{\frac{-56}{\lambda}} \)?
Disculpa aún no encuentro la forma en como utilizar la hipótesis de \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Muchas gracias

[Masacroso]

Hola
¿Entonces me quedaría de la forma \( \Pr [T>76-20]= \Pr [T>56]= e^{\frac{-56}{\lambda}} \)?

Sí.

Disculpa aún no encuentro la forma en como utilizar la hipótesis de \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Muchas gracias

Pero si te lo acabo de mostrar en la respuesta anterior... Tienes que \( \sqrt{2}/2=e^{-28/\lambda } \), de donde obtienes el valor de \( \lambda  \) para hallar el valor de \( \Pr [T>56] \).


Añadido: es incluso más fácil, no hay que despejar \( \lambda  \) ni nada, sólo observar que \( 56=2\cdot 28 \), por tanto \( \Pr [T>56]=e^{-56/\lambda }=(e^{-28/\lambda })^2=(\Pr [T>28])^2=(\sqrt{2}/2)^2=1/2 \).