Autor Tema: Matemática de los cohetes y los vuelos orbitales

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04 Abril, 2021, 03:22 am
Respuesta #30

Richard R Richard

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15. Reentrada atmosférica.


Siempre es lindo salir de casa, pero más lindo es poder volver, sano y salvo.
La reentrada atmosférica es el problema más complejo, de las trayectorias de los cohetes.
Si bien se ha dado un paso gigante en tecnología desde los primeros vuelos, sigue siendo extremadamente peligrosa la entrada en la atmosfera sin ningún mecanismo de propulsión.

Veamos, la nave órbita con una cierta velocidad \( v \) un acierta órbita a una altura \( y \) decide impulsarse hacia la tierra.
Lo puede hacer frenando en la misma dirección de la órbita o impulsándose con velocidad radial.
Si han seguido con atención lo dicho en parte de este artículo, la segunda opción deja a la nave con mayor velocidad de entrada en dirección a la atmósfera, en cambio la primera es justamente la gravedad la que va tirando  de la nave y acelerando lentamente por que este método es el preferido. Ya que como lo que estamos buscando es frenar, no es para nada  mejor hacerlo desde una celeridad mayor.
La tangente  del ángulo de la reentrada es el cociente ente la velocidad radial e aproximación sobre la tangencial final de la órbita luego del frenado.

Si el ángulo es muy grande, las primeras capas es aire fino de la atmósfera no logran frenar lo suficiente la velocidad ya que la gravedad intenta acelera la nave. Entonces llega a las capas más densas de la atmósfera con mucha velocidad y frena muy rápidamente por efecto de la fricción, esto quizá sería bien visto, pero tiene un gran inconveniente la fricción del aire eleva la temperatura externa por encima del límite de la resistencia de cualquier material probado, y la nave termina desintegrándose  por el choque térmico y el arrastre aerodinámico.

Si el ángulo es muy pequeño, puede suceder que la atraviese toda la capa de aire poco denso, sin variar demasiado su velocidad tangencial, por lo que habrá hecho una especie de perigeo de una órbita elíptica, luego de lo cual vuelve a ganar altura respecto de superficie, se dice que ha rebotado en la atmósfera, posiblemente volverá a caer más tarde pero no será en donde se ha planificado el aterrizaje.
En fin queda una banda por lo general muy estrecha de ángulos posibles que permiten una entrada segura. El ángulo es bastante pequeño La velocidad tangencial es mucho mayor a la radial y son los gases atmosféricos poco densos los que paulatinamente reducen la celeridad, el ángulo así se va incrementando de apoco, a media que actúa la gravedad y cae la velocidad tangencial, cuando entra en las capas densas la velocidad respecto al aire es lo suficientemente reducida como para que, si bien hay mucha fricción los materiales de aislación resistan el arrastre y la temperatura.
Los ángulos de entrada son muy precisos  el conjunto de estos valores definen un rango  llamado corredor de entrada o ventana de entrada, se trata de un estrecho pasillo, centrado en un ángulo de incidencia de 6,2º, con un margen de sólo 0,7º,
Cómo sabemos cuándo faltan aún unos kilómetros de altura (entre 3 o 4 km) se despliegan paracaídas, para aterrizar con una velocidad terminal muy pequeña y segura para la tripulación menor a 16 m/s.
Las nuevas tecnologías  está permitiendo recuperar los cohetes de primera etapa, por retropropulsión, esto es posible porque  se elevan muy poco de la por encima atmósfera densa, donde la aerodinámica consume la mayor parte de la potencia de impulsión. Pero todavía no se han diseñado naves que controlan el descenso por propulsión en las capas altas de la atmósfera, y esto es debido a que es necesaria la misma cantidad de combustible que para el ascenso, lo que haría de cualquier proyecto tripulado de un tamaño gigantesco, comparado con la tecnología de planeo aerodinámico actual.
Matemáticamente que es lo que interesa a este foro,  se trata de resolver el mismo tipo de integrales que en el ascenso.
El coeficiente de resistencia aerodinámico, y la correcta evaluación de la densidad atmosférica en función de la altura son cruciales.
El diseño del escudo térmico los materiales y su forma no son de los secretos mejores guardados pero si siempre se intenta que sean de información confidencial, pero sabemos Cuándo la cápsula de reentrada atraviesa la atmósfera, la cápsula comprime el aire frente a ella, que se calienta a temperaturas muy altas. La temperatura de la superficie de una cápsula puede alcanzar los 1.480 ° C  a medida que desciende a través de la atmósfera terrestre.
La" forma de esfera-cono es una sección esférica con un tronco o cono desafilado adjunto. La estabilidad dinámica del cono esférico suele ser mejor que la de una sección esférica. El vehículo entra en la esfera primero. Con un semiángulo lo suficientemente pequeño y un centro de masa correctamente colocado, un cono esférico puede proporcionar estabilidad aerodinámica desde la entrada kepleriana hasta el impacto en la superficie. (Los medio ángulo es el ángulo entre el eje de simetría rotacional del cono y su superficie exterior, y por lo tanto la mitad del ángulo formado por los bordes de la superficie del cono.)"
Para evitar que este calor llegue a las estructuras interiores, las cápsulas suelen estar equipadas con un escudo térmico ablativo que se derrite  por capas y luego se vaporiza, quitando el calor de la estructura, esta parte de la capsula no es re utilizable.
El módulo de comando Apolo volvió a entrar con el CM desplazado de la línea central; esto hizo que la cápsula asumiera una posición en ángulo a través del aire, proporcionando una elevación que podría usarse para el control direccional.
mas info en https://es.vvikipedla.com/wiki/atmospheric_entry 


Empecemos con un modelo sencillo  como aquel exponencial que  vimos donde el cambio del número de moléculas presentes en la atmósfera por unidad de volumen  depende del equilibrio de fuerzas hidrostáticas.

\( \dfrac{\partial p}{\partial y}=-nmg \)
Como  \( p=nKT \) por la ley de gases ideales


\( \dfrac{\partial n}{\partial y}=-n\dfrac{mg}{KT} \)

De donde

\( P(y)=p_0e^{-\dfrac{mg y}{KT}}= p_0e^{-\dfrac{y}{H}} \)

donde  \( H= \dfrac{KT}{mg}=8.42 km \)

 luego podemos relacionar la presión con la densidad como veremos más adelante
Pero este modelo sencillo tiene un par de inconvenientes el  primero es que la gravedad no es constante con la altura por lo que podemos rehacer la ED
Debemos que la gravedad cae con el cuadrado de la distancia ala centro

\( g(y)=\dfrac{g_0 R_T ^2}{(R_T+y)^2} \)

usamos esto y vemos que la Ed transforma a

\( \dfrac{\partial n}{\partial y}=-n\dfrac{m\left(\dfrac{g_0 R_T ^2}{(R_T+y)^2}\right)}{KT} \)

Resultando

\( p(y)= p_0e^{-\dfrac{y}{H}\dfrac{ R_T }{R_T+y}}  \)

este modelo solo considera a la tierra estática , pero está rota sobre su eje, haciendo que la gravedad será menor en el ecuador(latitud 0°)

\( g(y)=\dfrac{g_0 R_T ^2}{(R_T+y)^2}-\omega^2_0\left(\dfrac{R_T+y}{ R_T }\right)  \)

si tenemos en cuenta la latitud 

\( g(y)=\dfrac{g_0 R_T ^2}{(R_T+y)^2}-\omega^2_0\left(\dfrac{R_T+y}{ R_T }\cos \theta_{lat}\right)  \)

de donde la ED resuelta da

\( p(y)= p_0e^{-\dfrac{y}{H}\left[\dfrac{ R_T }{R_T+y}-\dfrac{\omega_0R_T\cos\theta_{lat}}{g_0}\left(1+\dfrac{y}{2R_t}\right)\right]}  \)

Sigue siendo un modelo exponencial un poco más complejo.
 
Pero la densidad a cada altura sigue estando relacionada con la temperatura que varía, en función de la absorción de las distintas frecuencias de ondas electromagnéticas recibidas  del sol y del contenido de gases de efecto invernadero.

Un modelo de cómo es la temperatura \( T(y)  \) y la presión \( p(y)  \) en función de la altura  según la NASA solo para bajas alturas
https://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/atmosmet.html

para saber la densidad del aire entonces recurrimos a la ecuación de los gases ideales

\( \rho(y)=  \dfrac{p(y)}{KT(y) }  \)

Y por qué nos interesa tanto la densidad porque la fuerza instantánea de arrastre aerodinámica responsable de frenar la capsula se calcula como

\( F_r=a_rm=F_{(\rho,v)}=\dfrac{1}{2}\rho(y) C_aAv_{(x,y,t)}^2 \)

Donde \( C_a \) es el coeficiente de resistencia aerodinámico (que no tiene por qué ser lineal , ni constante con la altura, sino una función modelada con datos experimentales)

\( A \) es el área normal expuesta de la capsula al rozamiento
\( m \) la masa de la capsula
\( v_{(x,y,t)}  \) es la velocidad instantánea de la capsula para la posición x,y,t
\( a_{R(x,y,t)}  \) es la aceleración o frenado de la capsula
tengamos en cuenta que el equilibrio de fuerza en todo momento es
si \( \alpha_{(x,y,t)} =\arctan\dfrac{v_R}{v_T} \) el ángulo de reentrada
 
en dirección tangencial tenemos

\( v_{T(x,y,t+\epsilon)}= v_{T(x,y,t)}-a_ {(x,y,t)}\cos\alpha_{(x,y,t)} \epsilon \)

\( v_{R(x,y,t+\epsilon)}= v_{r(x,y,t)}-a_{ (x,y,t)}\sin\alpha_{(x,y,t)} \epsilon+\dfrac{g_0 R_T ^2}{(R_T+y)^2}\epsilon \)

Donde épsilon es un pequeño salto infinitesimal si se quiere  de tiempo para iterar y obtener a la vez las coordenadas de posición y altura  por una integración hasta el momento del despliegue del paracaídas…
Como verán de nuevo la reentrada  es un cálculo complicado  con una ingeniería por demás de sofisticada y costosa, en pruebas de túnel de viento y en desarrollo de materiales aislantes, con alto punto de fusión, resistentes a los esfuerzos hasta la cercanía del punto de fusión  y a la vez con el más alto calor específico, resistentes a la ablación por gases o iones cargados.


Con las velocidades , aceleraciones se puede modelizar  un cálculo de tiempo teórico, y el ángulo inicial de entrada  si el ángulo oscila los 6 grados  su tangente es aproximadamente  0.1 lo cual implica  tener una velocidad de 2200 km/h en dirección a la tierra cuando la órbita esta en 22000 km/h  es decir hay que guardar el suficiente combustible para tener el \( \Delta v \) necesario para pasar de la órbita elíptica precedente a otra que tenga esos dos valores de velocidad de ejemplo al momento del contacto con las primeras capas de la atmósfera.
Pero al final de la reentrada, la velocidad tangencial se habra reducido en en mayor proporción que la radial por lo que durante la caída, el angulo \( \alpha \) se va incrementando , no he encontrado el dato pero llegaría hasta mas de 45°
 
 
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

04 Abril, 2021, 06:42 pm
Respuesta #31

Richard R Richard

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16.   Una pincelada relativista
 


En esta última entrada hablare de los efectos relativistas en el cálculo de las órbitas de los satélites.
Poco humildemente puedo agregar a los desarrollos matemáticos complejo que resultan de la teoría de la relatividad general, pero lo que quiero maraca cuales serían los límites de la teoría Newtoniana que venimos utilizando.
Buenos artículos  que desarrollan el tema están incluso en la Wikipedia
El problema de los dos cuerpos en la RG https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_dos_cuerpos_en_la_relatividad_general
El espaciotiempo curvo y la métrica de Schwarzschild}


https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9trica_de_Schwarzschild


El espaciotiempo curvo y la métrica de Kerr-Newman


https://es.wikipedia.org/wiki/Agujero_negro_de_Kerr


Gráficas comparativas entre orbitas newtonianas versus las de relatividad general


https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Newton_versus_Schwarzschild_trajectories.gif


Bueno, veamos la diferencia  entre teorías,



Teoría newtoniana


  • Las interacciones o fuerzas son instantáneas o tienen velocidad infinita   
  • La gravedad es una fuerza en un espacio euclídeo.   
  • No hay límite de velocidades relativas
  • El tiempo es una magnitud absoluta para todos los observadores.   
  • Las órbitas se calculan a partir de lagrangianos, o bien de potenciales de energía mecánica   
  • Las órbitas para un cuerpo de masa despreciable en rotación sobre otro tienen expresión analítica   
  • El problema de los 3 cuerpos no tiene solución analítica, solo aproximaciones cuando la partícula de prueba tiene masa despreciable



Teoría de la relatividad general y especial


  • Las interacciones se producen con un retardo relativo a la distancia que se separan los cuerpos, la velocidad de la interacción es la velocidad de la luz c.
  • La gravedad  es la consecuencia de la existencia de un espaciotiempo curvo.
  • El límite de las velocidades relativas es c
  • El tiempo es una magnitud relativa al observador.
  • Las órbitas se calculan como geodésicas del espaciotiempo, donde la geometría de ese espacio está relacionada con el tensor de energía momento, por medio de las ecuaciones de campo de Einstein
  • Las órbitas para un cuerpo de masa despreciable en rotación sobre otro tienen expresión analítica por la solución de la Métrica de Schwarzschild
  • El problema de los 3 cuerpos no tiene solución analítica, ni siquiera si la masa de uno de los cuerpos tiene masa despreciable.

Fundamentalmente hay que destacar que cuando se quiere hilar muy fino en las ecuaciones de las órbitas usando la TRG, es que todas las órbitas de TRG, tienen precesión de periastro, es decir mínimamente o mas marcadamente, las órbitas no son elipses perfectas sino que el periastro se va desplazando un cierto ángulo en cada revolución, La teoría  newtoniana no podía explicar el corrimiento del periastro de mercurio, pero en la TRG surge de manera natural.


https://es.wikipedia.org/wiki/Mercurio_(planeta)#Avance_del_perihelio
https://francis.naukas.com/2010/08/02/la-historia-de-la-anomalia-en-el-avance-del-perihelio-de-mercurio-y-la-formula-de-gerber-einstein/


Para un solo cuerpo y una partícula de prueba, en una solución de vacío la TRG tiene una solución exacta, la métrica de Schwarzschild, con la que pueden calcularse órbitas, y potenciales como en la teoría newtoniana.
Con esta solución se predice un nuevo tipo de objeto astronómico, del  cual ni siquiera la luz podría escapar debido a la curvatura del espaciotiempo que provoca, si los agujeros negros.
Pero nuestro caso, las estructuras de los planetas son millones de veces menos densa que las de los agüeros negros, por lo que centraremos el estudio en planetas, estrellas, satélites naturales asteroides, cometas, mucho menos masivos, y donde la curvatura del espacio tiempo en poco marcada, de allí que la diferencia numérica entre ambas teoría es tan pequeña que el error cometido por seguir usando la teoría newtoniana, sigue siendo  despreciable.
Pero igual tengamos en cuenta cuales son los aspectos que permiten proyectar en un espacio 3d las trayectoria orbitales de los principales cuerpo celestes.
Como vimos un sistema ideal de dos cuerpos tiene  solución analítica, y dadas las condiciones iniciales del movimiento se pueden  obtener a futuro la posición velocidad y aceleración para cualquier momento.


A que le interese puede ver
https://forum.lawebdefisica.com/blogs/richard-r-richard/351592-un-m%C3%A9todo-para-graficar-%C3%B3rbitas-y-trayectorias-en-la-teor%C3%ADa-newtoniana-de-la-gravitaci%C3%B3n
 
Pero en relatividad general


Las órbitas son geodésicas de un espacio curvo cuya métrica es solución de las ecuaciones de campo de Einstein


\( R_{\mu\nu}-\dfrac12g_{\mu\nu}R+\Lambda  g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu} \)


Estos objetos matemáticos deben calcularse para la métrica de Schwarzschild
 
\( g = -c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) \mathrm{d}t \otimes \mathrm{d}t + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}\mathrm{d}r\otimes \mathrm{d}r + r^2 \left(\mathrm{d}\theta\otimes \mathrm{d}\theta + \sin^2\theta\ \mathrm{d}\phi\otimes \mathrm{d}\phi \right) \)


Con la cual se calculan las geodésicas con la formula


\( \ddot x^{\mu}+\varGamma_{\nu\rho}^{\mu} \ \dot x^{\rho} \ \dot x^{\mu}=0 \)


 Donde los \(  \varGamma_{\nu\rho}^{\mu} \) son los símbolos de Christofell de la métrica que se calculan como


\( \varGamma^{\rho}_{\mu \nu}=\frac 12
g^{\rho \lambda}(\partial_{\mu}g_{ \lambda \nu}
+\partial_{\nu}g_{ \mu \lambda}-\partial_{\lambda}g
_{ \mu \nu}) \)




 De esta forma se llega a un sistema de cuatro ecuaciones paramétricas


\( \begin{cases} \ddot{t} + \cfrac{2\mu}{r(r-2\mu)}\dot{t}\dot{r} = 0 \\
\ddot{r} + c^2\cfrac{\mu(r-2\mu)}{r^3}\dot{t}^2 - \cfrac{\mu}{r(r-2\mu)}\dot{r}^2 - (r-2\mu) \left[ \dot{\theta}^2 + \sin^2\theta \dot{\phi}^2 \right]= 0 \\
\ddot{\theta} + \cfrac{2\dot{r}}{r}\dot{\theta} -\sin \theta \cos \theta \dot{\phi}^2 = 0 \\
\ddot{\phi} + \cfrac{2\dot{r}}{r}\dot{\phi} + \cfrac{2}{\tan \theta}\dot{\phi}\dot{\theta}= 0 \end{cases} \qquad \mu=\dfrac{GM}{c^2} \)




Ojo que aquí \( \mu \) no es la masa reducida de la teoría newtoniana, ni tampoco un subíndice como las ecuaciones anteriores. Es un parámetro del sistema proporcional a la masa del objeto más masivo.
Con estas cuatro ecuaciones paramétricas se pueden graficar las órbitas mediante


https://forum.lawebdefisica.com/blogs/richard-r-richard/351595-m%C3%A9todo-para-graficar-%C3%B3rbita-geod%C3%A9sicas-y-trayectorias-en-el-espacio-m%C3%A9trico-de-schwarzchild


El espacio tiempo de Schwarzschild es una espacio simplificado respecto de uno real cuyo objeto masivo, rota, cuando las velocidades de rotación son elevada y las masas también hay una marcada diferencia con lo que predice esta métrica, por  lo que se han propuesto otras soluciones como la Métrica De Kerr-Newman


\( \begin{aligned}
g = -c^{2} d\tau^{2}
=-\left( 1 - \dfrac{r_{s} r}{\Sigma} \right) c^{2} dt^{2} + \dfrac{\Sigma}{\Delta} dr^{2} + \Sigma d\theta^{2}
+ \left( r^{2} + a^{2} + \dfrac{r_{s} r a^{2}}{\Sigma} \sin^{2}\theta \right) \sin^{2}\theta \ d\phi^{2}
- \dfrac{2r_{s} ra \sin^{2} \theta}{\Sigma} \, c \, dt \, d\phi
\end{aligned} \)


Que con el mismo método de cálculo de geodésica se pueden graficar las órbitas
https://forum.lawebdefisica.com/blogs/richard-r-richard/351597-m%C3%A9todo-para-graficar-%C3%B3rbitas-geod%C3%A9sicas-en-el-espacio-m%C3%A9trico-de-kerr


repito estas son las más precisas que se podrían utilizar, pero como el espacio tiempo en nuestro vecindario  no es muy masivo ni rota demasiado rápido entonces es mejor calcular con soluciones más simples, ya que los errores introducidos son mínimos
 
Una de los principales usos de la TRG lo que permite sincronizar los relojes atómicos de los sistemas GPS ya que como se mueven  a mayor velocidad que la superficie de la tierra sus relojes atrasan y también como a la atura donde orbitan hay menos gravedad ,sus relojes adelantan pero la compensación no es exacta y deben ser ajustados para que emitan la señal de posición con el mismo periodo con el que se espera recibirlas en la superficie.


El atraso por velocidad es


\( \Delta t_{AE}=\dfrac{t_{0E}}{\gamma_A}- t_{0E} =t_{0E} \sqrt{1-\dfrac{{v_A-v_s}^2}{c^2}}  - t_{0E} \)


\( V_A \)  es la velocidad del satélite respecto al centro de la tierra y \( v_s \) la velocidad de la superficie


\( t_{0E} \) es el tiempo que se mide en la superficie


Y el adelanto por gravitación


\( \Delta t'=\Delta t\sqrt{1-\dfrac{2GM}{Rc^2}} \)


Esto debe ser evaluado  tanto a la altura del satélite \( R_T+y \) como a la altura de la superficie \( R_T \)


La suma del atraso y el adelanto, para un periodo dado de tiempo ejemplo 1 segundo , daría el cambio de frecuencia con que debe programarse el reloj atómico para que envíen señales con periodo T  y se reciban con periodo T’ en la superficie.
 
En la telemetría la RG también tiene influencia, puesto que el envío de señales periódicas y su retraso es lo que permite por medio de las ecuaciones del radar, determinar tanto la posición como la velocidad relativa de la nave.
Es tanta la precisión que se encontró en el viaje de las sondas Pioneer , una discrepancia en los valores de telemetría por lo cual se pensó que debía existir una nueva física y de ese modo  surgieron innumerables teorías para explicar lo que la relatividad aparentemente no podía, aunque todo a quedado como una anécdota , todavía hay quienes defienden esas teorías de gravedad modificada.
https://es.wikipedia.org/wiki/Anomal%C3%ADa_de_las_Pioneer
 
Bueno , no sé si ha quedado claro que las matemáticas de las órbitas , son mucho menos complicadas en términos matemáticos y de conocimiento físico, que las necesarias para las trayectorias para poner y sacar los satélites de esas órbitas.
Con esto  termino de  mi aporte al tema surgido en https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116245.msg464351#msg464351
Desde ya que cualquier consulta es bien recibida
Espero que no haya sido un monologo sin utilidad.
No sé si lo dicho satisfizo la curiosidad  Les propongo que en otro hilo desarrollemos las ecuaciones que tenemos para un proyecto ficticio, para colocar una carga en el espacio y traerla de vuelta y armemos una simulación para correrla y sea visible por el público que lo desee.
De lenguajes de programación modernos estoy desactualizado, por lo que una inyección de motivación puede que me lleve a retomar lectura del lenguaje que propongan .


Saludos \( \mathbb{R}^3 \)




Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

11 Abril, 2021, 03:14 am
Respuesta #32

Richard R Richard

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No he dejado referencia de donde he sacado la información brindad ... pues ahora la dejo



 Referencias
 
 https://arxiv.org/
 https://es.wikipedia.org/wiki/Asistencia_gravitatoria#:~:text=En%20astron%C3%A1utica%20se%20denomina%20asistencia,la%20sonda%20cambiando%20su%20trayectoria
 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/celeste/transferencia/transferencia.html
 https://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec14.pdf
 http://www.scielo.org.mx/pdf/rmfe/v61n1/v61n1a2.pdf
 https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_masa_variable
 https://es.wikipedia.org/wiki/Anomal%C3%ADa_de_las_Pioneer
 https://francis.naukas.com/2010/08/02/la-historia-de-la-anomalia-en-el-avance-del-perihelio-de-mercurio-y-la-formula-de-gerber-einstein/
 https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116274.msg465150#new
 https://noticiasdelaciencia.com/art/7500/gran-enciclopedia-de-la-astronautica-119-aerodinamica
 https://es.vvikipedla.com/wiki/Reentry_capsule
 https://didactica.fisica.uson.mx/cursos/fisord/estadistica/atmosfera/atmosfera.html
 https://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/atmosmet.html
 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/calor/atmosfera/atmosfera.html
 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/celeste/oberth/oberth.html
 https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Oberth
 https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/153102/Blesa%20-%20Obtenci%C3%B3n%20y%20an%C3%A1lisis%20de%20ventanas%20de%20lanzamiento%20y%20trayectorias%20en%20funci%C3%B3n%20del%20delta-V%20par....pdf?sequence=1
 https://es.wikipedia.org/wiki/Impulso_espec%C3%ADfico
 https://es.wikipedia.org/wiki/Excentricidad_orbital
 https://es.wikipedia.org/wiki/Transferencia_biel%C3%ADptica
 https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_n_cuerpos
 https://es.wikipedia.org/wiki/El_problema_de_los_tres_cuerpos
 https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_cohete_de_Tsiolkovski#:~:text=La%20ecuaci%C3%B3n%20del%20cohete%20de,de%20la%20cantidad%20de%20movimiento.
 https://es.wikipedia.org/wiki/Delta-v
 https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbita_geoestacionaria
 https://dle.rae.es/%C3%B3rbita
 https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_arrastre#/media/Archivorag-es.svg
 https://www.nasa.gov/centers/johnson/copernicus/index.html
 http://bibliotecadigital.usbcali.edu.co/bitstream/10819/1483/1/Metodologia_matematica_Analisis_Aerodinamico_cohetes_Bustos_2005.pdf
 https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbita
 https://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_efectivo
 Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)