[zorropardo]

Si  $$ X=\{ |\sqrt{a}-\sqrt{b}| ; a,b \in \mathbb{N}; a \neq b \}.$$ Calcule $$\inf(X)$$ e $$\sup(X).$$

[Juan Pablo Sancho]

Si usas que \( |\sqrt{n^2} -  \sqrt{1}| \) ¿Qué se pude aceptar como supremo?
Si usas que \( |\sqrt{(n+1)^2} - \sqrt{n^2}| = |\sqrt{(n+1)^2} - \sqrt{n^2}| \cdot \dfrac{|\sqrt{(n+1)^2} + \sqrt{n^2}|}{|\sqrt{(n+1)^2} + \sqrt{n^2}|}  = \dfrac{1}{\sqrt{(n+1)^2} + \sqrt{n^2}} = \dfrac{1}{2n+1}  \) ¿Qué se puede aceptar como ínfimo?

[zorropardo]

Hola, se puede aceptar que : $$\sup(X)$$ no existe y que $$\inf(X)=0.$$

[Juan Pablo Sancho]

Si.

[ani_pascual]

Hola:

Si usas que \( |\sqrt{n^2} -  \sqrt{1}| \) ¿Qué se pude aceptar como supremo?
Si usas que \( |\sqrt{(n+1)^2} - \sqrt{n^2}| = |\sqrt{(n+1)^2} - \sqrt{n^2}| \cdot \dfrac{|\sqrt{(n+1)^2} + \sqrt{n^2}|}{|\sqrt{(n+1)^2} + \sqrt{n^2}|}  = \dfrac{1}{\sqrt{(n+1)^2} + \sqrt{n^2}} = \dfrac{1}{2n+1}  \) ¿Qué se puede aceptar como ínfimo?

No entiendo bien la segunda expresión. ¿No sería, más bien, \( |\sqrt{n+1}-\sqrt{n}|=|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}|\cdot\dfrac{|\sqrt{n+1}+\sqrt{n}|}{|\sqrt{n+1}+\sqrt{n}|}=\dfrac{1}{|\sqrt{n+1}+\sqrt{n}|} \)?
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Está bien, \( (n+1)^2 \) y \( n^2 \) son naturales si \(  n+1  \) y \( n \) lo son.
Sólo era para que quedaran naturales, esto no influye en el resultado que el ínfimo debe ser cero.

[ani_pascual]

Está bien, \( (n+1)^2 \) y \( n^2 \) son naturales si \(  n+1  \) y \( n \) lo son.
Sólo era para que quedaran naturales, esto no influye en el resultado que el ínfimo debe ser cero.

Sí, es cierto que no influye en el resultado, pero ¿no es \( \dfrac{|\sqrt{(n+1)^2}-\sqrt{n^2}||\sqrt{(n+1)^2}+\sqrt{n^2}|}{\sqrt{(n+1)^2}+\sqrt{n^2}|}=\dfrac{2n+1}{2n+1}=1 \)?
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

¡PERDÓN!
 

Menos mal que me largo una temporada larga.

[zorropardo]

Entonces en ese caso , como demuestro que el infimo del conjunto $$\{ \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}   \}$$ es cero.
 

[ani_pascual]

¡PERDÓN!
 

Menos mal que me largo una temporada larga.

¡Vaya! Es una mala noticia.    :'(