[thadeu]

El triangulo significa que no sé en que lado está la desigualdad (Lo tenía que haber especificado) \(  >  \) o \(  < \) , aplico operaciones que mantienen la igualdad en el sentido que sea y al final como queda \( n \triangle (\dfrac{n+1}{n})^n  \) y \( (\dfrac{n+1}{n})^n  \) es una sucesión creciente con límite \( e \) y \( e < 3 \) entonces a partir de tres \(  \sqrt[n]{n} > \sqrt[n+1]{n+1} \)

Hola Juan Pablo
Ya que Zorropardo pide  que sea una solución sin usar derivadas
¿Hay manera de probar que $$\sqrt[ n]{n}>\sqrt[ n+1]{n+1}$$,  con $$n\geq{3}$$ sin derivadas?

[ani_pascual]

Hola:

Ya que Zorropardo pide  que sea una solución sin usar derivadas
¿Hay manera de probar que $$\sqrt[ n]{n}>\sqrt[ n+1]{n+1}$$,  con $$n\geq{3}$$ sin derivadas?

La función \( f(x)=\dfrac{\ln x}{x} \) es decreciente a partir de \( x=e \), por tanto, si \( n\geq 3 \) se cumple que \( n<n+1\Longrightarrow \dfrac{\ln n}{n}>\dfrac{\ln (n+1)}{n+1}\Longrightarrow n^{\frac{1}{n}}>(n+1)^{\frac{1}{n+1}} \)
Se usan derivadas 
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Pero no usé derivadas, usé que \( \displaystyle \lim_{ n \to +\infty} (1+\dfrac{1}{n})^n = e  \) y \( f(x) = x^m \) es una función creciente para todo \( m \in \mathbb{N} \) y \( x > 0 \).
Aunque usando el binomio sale antes.

[ani_pascual]

Hola:

Pero no usé derivadas, usé que \( \displaystyle \lim_{ n \to +\infty} (1+\dfrac{1}{n})^n = e  \) y \( f(x) = x^m \) es una función creciente para todo \( m \in \mathbb{N} \) y \( x > 0 \).
Aunque usando el binomio sale antes.

Si no es mucho pedir, ¿podrías detallar cómo se hace usando el binomio de Newton? 
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Para \( n \geq 3 \) y \(  x > 0 \)
Editado
\( \displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k > {n \choose 2} x^2 = \dfrac{n \cdot (n\color{red}-\color{black}1)}{2} x^2 \)
Sirve como siempre:
Ejericio_12 Fernando Revilla

[ani_pascual]

Para \( n \geq 3 \) y \(  x > 0 \)
\( \displaystyle (1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k > {n \choose 2} x^2 = \dfrac{n \cdot (n\textcolor{red}{+}1)}{2} x^2 \)
Sirve como siempre:
Ejericio_12 Fernando Revilla

Gracias. ¿No es \( \displaystyle {n \choose 2} x^2 = \dfrac{n \cdot (n-1)}{2} x^2 \)? Si bien, es irrelevante; por cierto, en el primer mensaje de zorropardo creo que está también el error
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Si ahora lo edito, gracias ani_pascual

[zorropardo]

Pero en a formula del link esta escrito: $$ (1+x_{n})^{n} \geq{ \frac{n(n-1)}{2} x_{n}^2}.$$  Pero no en el sentido estricto de la desigualdad.
Por otro lado como pruedo probar esa desigualdad 

[Juan Pablo Sancho]

Ahora es \( x_n \) antes era \( y_n \).
Da igual si es estricto o no, quedaría lo mismo ¿no?.
\( (1+x_n)^n \geq \dfrac{ n\cdot (n-1)}{2} \cdot x_n^2 \) luego se cumple el teorema del sandwich.

Por otro lado como pruedo probar esa desigualdad 

Si estas preguntado por eso, justamente como te dije y puse usando el binomio de Newton.

[zorropardo]

Si , quedaria lo mismo, solo lo decia por la desigualdad mayor o  igual del link. Por otro no me habia percatado que  la base  $$ 1+x_{n}$$ es positiva entonces siempre es mayor que alguno de sus elementos, e por eso la desigualdad. Aunque si  la base fuese negativa , ai si se debberia probar por induccion.