Evidentemente, cualquier frase de un lenguaje natural que se pueda traducir al lenguaje formal de la lógica de primer orden (para lo cuál obviamente es necesario interpretar la fórmula en un modelo aunque las reglas de inferencia de la lógica de primer orden se puedan acometer desde un punto de vista puramente sintáctico), dado que las frases de los lenguajes naturales no se pueden tratar desde un punto de vista puramente sintáctico, llevan un semántica incluida, basado en el diccionario, y en el contexto espacial y temporal en el que se enuncia la frase. Doy un ejemplo para aclarar un poco esta última afirmación:
El diccionario, para recoger todas las palabras (o al menos la gran mayoría, aunque estamos muy lejos de el diccionario ideal, y vamos a seguir estándolo mientras los diccionarios de la RAE y de la Academia de las Ciencias no se unifiquen), está bien, pero nadie va a aprender lo que es un perro o lo que es una casa leyéndolo en el diccionario. En los lenguajes formales todos los términos se reducen a secuencias de términos primitivos que no se definen, sólo les exigen que cumplan los axiomas de la teoría matemática en la que trabajamos. Cumpliendo esos axiomas, generalmente (salvo que se trate de una teoría categórica), podemos dar significados distintos, y aún así, elijamos el significado que elijamos arbitrariamente (siempre y cuando verifiquen los axiomas de la teoría), las fórmulas que deducimos mediante la lógica de primer orden van a ser ciertas en todas las interpretaciones (si los axiomas de la teoría no son contradictorios).
En los lenguajes naturales, el español en nuestro caso, cuando un niño aprende lo que es un perro, es porque cuando va con un adulto por la calle y se ve a un perro se le señala con la mano y se le pronuncia la palabra "perro". A base de repetirlo, el niño acaba aprendiendo lo que es un perro. Vale, hay muchisimas razas de perros, y a lo mejor ve un lobo y puede llegar a confundirlo con un perro, es verdad que el lenguaje natural no tiene la precisión absoluta de los lenguajes formales en algunos conceptos, en otros sí. Evidentemente, el concepto de perro puede tener cierta ambigüedad, el concepto de casa no, vivas en un edificio, en un chalé, en una cueva o debajo de un puente, si duermes allí cuando no has aceptado la invitación de alguien para dormir en otro sitio, es tu casa y no hay ningún tipo de ambigüedad, será un concepto muy amplio pero sin ningún tipo de subjetividad.
Mi pregunta es (al menos en los conceptos de los lenguajes naturales que no se prestan a ambigüedad, si, considerando todas las frases enunciativas posibles de un lenguaje natural, me vuelvo a ceñir a mi lengua materna el español, aunque vale para cualquiera), las reglas de inferencia y axiomas lógicos son los mismos que en la lógica de primer orden, o existe algún axioma o regla inferencial adicional, y si existe, por qué no se puede aplicar a los lenguajes formales de las matemáticas
