[zorropardo]

Una caja rectangular sin tapa es hecha de $$12 m^{2}$$ de papel. Determine el volumen maximo de la caja.

Queremos maximizar $$V=xyz$$ sujeto a la restriccion $$g(x,y,z)=12=2xz+2yz+xy$$

donde $$x$$ largo, $$y$$ ancho y $$z$$ es la altura de la caja. Usando el metodo de Lagrange tenemos: $$ \nabla V= \lambda \nabla g $$ obtenemos $$x=y=2z$$ luego sustitiyendo: $$x=2=y$$ y $$z=1.$$ Para mostrar que realmente el punto $$(2,2,1)$$ es maximo. Aplico el criterio de la segunda derivada para la funcion $$V(x,y)=xy\frac{x}{2} \Rightarrow{    V_{x}=xy ; V_{xx}=y ; V_{xy}=x; V_{yy}=0 }.$$ Pero vemos que : $$D=V_{xx}V_{yy}-(V_{xy})^2=-x^2 <0 $$ entonces el punto seria punto de silla y no maximo. Donde esta mi error  .

[hméndez]

Una caja rectangular sin tapa es hecha de $$12 m^{2}$$ de papel. Determine el volumen maximo de la caja.

Queremos maximizar $$V=xyz$$ sujeto a la restriccion $$g(x,y,z)=12=2xz+2yz+xy$$

donde $$x$$ largo, $$y$$ ancho y $$z$$ es la altura de la caja. Usando el metodo de Lagrange tenemos: $$ \nabla V= \lambda \nabla g $$ obtenemos $$x=y=2z$$ luego sustitiyendo: $$x=2=y$$ y $$z=1.$$ Para mostrar que realmente el punto $$(2,2,1)$$ es maximo. Aplico el criterio de la segunda derivada para la funcion $$V(x,y)=xy\frac{x}{2} \Rightarrow{    V_{x}=xy ; V_{xx}=y ; V_{xy}=x; V_{yy}=0 }.$$ Pero vemos que : $$D=V_{xx}V_{yy}-(V_{xy})^2=-x^2 <0 $$ entonces el punto seria punto de silla y no maximo. Donde esta mi error  .

Si de la restricción despejas z y sustituyes en la función objetivo original, ha de quedar:

\( V(x,y)=x y \displaystyle\frac{12-x y}{2(x+y)} \)

Saludos.

[zorropardo]

Muy agradecido.