Autor Tema: Localmente compacto

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22 Julio, 2021, 02:49 am
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Dark

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Sea $$(X,\tau)$$ un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto. Asuma que $V$ es un conjunto abierto y $A$ es un subconjunto compacto tal que $$A\subseteq V$$. Muestre que existe un conjunto abierto $$O$$ con clausura compacta tal que $$A\subseteq O\subseteq \overline{O}\subseteq V.$$

Dmst: Cada punto de $$A$$ tiene una vecindad con clausura compacta por ser $$X$$ un espacio localmente compacto, y como $$A$$ es compacto puede ser cubierto por un número finito de estas vecindades, facilmente se sigue que existe un conjunto abierto $$W$$ con clausura compacta tal que $$A\subseteq{W}$$. Reemplazando $$W$$ por $$W\cap{V}$$ (Si es necesario), podemos asumir que $$A\subseteq{W}\subseteq{V}$$.

Si $$\overline{W}\cap{V^c}=\emptyset$$, entonces $$O=W$$ y satisface $$A\subseteq{O}\subseteq{\overline{O}}\subseteq{V}$$. Por otra parte, si $$x\in \overline{W}\cap{V^c}$$ entonces $$x\notin A$$, y por teorema 8.13 existe un conjunto abierto $$U_x$$ tal que $$A\subseteq{U_x}$$ y $$x\notin\overline{U_x}$$. Ahora, observe que la familia $$\left\{{(\overline{U_x})^c:x\in \overline{W}\cap{V^c}}\right\}$$ es una cobertura abierta del conjunto compacto $$\overline{W}\cap{V^c}$$.

Entonces, existe un subconjunto finito $$F$$ de $$\overline{W}\cap{V^c}$$ tal que $$\overline{W}\cap{V^c}\subseteq{}\bigcap_{x\in F}(\overline{U_x})^c$$. Notemos que $$(\bigcap_{x\in F}\overline{U_x})\cap{\overline{W}\cap{V^c}}=\emptyset$$.

Sea $$O=\bigcap_{x\in F}(U_x\cap{W})$$ y notemos que $$O$$ es un conjunto abierto tal que $$A\subseteq{O}\subseteq{W}$$. Se sigue que $$\overline{O}\subseteq{\overline{W}}$$ y consecuentemente

$$\overline{O}\cap{V^c}=\overline{O}\cap\overline{W}\cap{V^c}$$$$\subseteq{}\left(\bigcap_{x\in F}\overline{U_x}\right)\cap{}\overline{W}\cap{V^c}=\emptyset $$

Entonces   $$A\subseteq{O}\subseteq{\overline{O}}\subseteq{V}$$

En adjunto esta el teorema mencionado. Ahora, las partes que están en rojo son donde tengo dudas.

fácilmente se sigue que existe un conjunto abierto $$W$$ con clausura compacta tal que $$A\subseteq{W}$$.

En esta parte es porque $$A$$ esta contenido o en una de estas vecindades que la llamamos $$W$$ o en una unión finita de estas vecindades que también se llamaría $$W$$ ya que la unión de abiertos es abierta. Si fuera el segundo caso, como todas las vecindades tienen clausura compacta, esa unión va estar contenida en la unión de sus respectivas clausuras que son cerradas y como es un espacio de Hausdorff también serían compactas?

Reemplazando $$W$$ por $$W\cap{V}$$ (Si es necesario), podemos asumir que $$A\subseteq{W}\subseteq{V}$$.

No entiendo muy bien cual es la finalidad de esto.

conjunto compacto $$\overline{W}\cap{V^c}$$.

Aunque sé que  $$\overline{W}\cap{V^c}$$ es cerrado, no logro ver aún que sea compacto. De pronto tenga que ver con que en  un espacio de Hausdorff un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto.

 
$$\overline{O}\cap{V^c}=\overline{O}\cap\overline{W}\cap{V^c}$$

Es decir, que $$V^c=\overline{W}\cap{V^c}$$ por qué?

23 Julio, 2021, 10:52 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

fácilmente se sigue que existe un conjunto abierto $$W$$ con clausura compacta tal que $$A\subseteq{W}$$.

En esta parte es porque $$A$$ esta contenido o en una de estas vecindades que la llamamos $$W$$ o en una unión finita de estas vecindades que también se llamaría $$W$$ ya que la unión de abiertos es abierta. Si fuera el segundo caso, como todas las vecindades tienen clausura compacta, esa unión va estar contenida en la unión de sus respectivas clausuras que son cerradas y como es un espacio de Hausdorff también serían compactas?

Simplemente (y no hace falta para esto que sea Hausdorff) la unión finita de compactos es compacta.

Citar
Reemplazando $$W$$ por $$W\cap{V}$$ (Si es necesario), podemos asumir que $$A\subseteq{W}\subseteq{V}$$.

No entiendo muy bien cual es la finalidad de esto.

Pues que en principio tendríamos \( A\subset W\subset \bar W \) con \( \bar W \) compacto. Pero el problema que nada garantiza hasta ahora que:

\( W\subset \bar W\subset V \)

Lo que va a dar la lata es conseguir que \( \bar W\subset V \). Pero lo que es fácil de conseguir es que \( W\subset V \) sin más que "corregir" ese abierto tomando \( W'=W\cap V. \) Dado que \( \bar W'\subset \bar W \) y \( \bar W \) es compacto entonces \( \bar W' \) es compacto porque un cerrado dentro de un compacto es compacto.

Citar
conjunto compacto $$\overline{W}\cap{V^c}$$.

Aunque sé que  $$\overline{W}\cap{V^c}$$ es cerrado, no logro ver aún que sea compacto. De pronto tenga que ver con que en  un espacio de Hausdorff un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto.

Claro, \( \overline{W}\cap{V^c} \)  es cerrado por ser intersección de cerrados y está contenido en el compacto \( \overline{W} \). La propiedad que garantiza que un cerrado dentro de un compacto es compacto no necesita que el espacio sea de Hausdorff.

 
Citar
$$\overline{O}\cap{V^c}=\overline{O}\cap\overline{W}\cap{V^c}$$

Es decir, que $$V^c=\overline{W}\cap{V^c}$$ por qué?

No. Lo que pasa es que \( \overline{O}=\overline{O}\cap \overline{W} \) porque \( \overline{O}\subset \overline{W} \).

Saludos.