Autor Tema: Simbolización de proposiciones geometricas

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Julio, 2021, 05:09 pm
Leído 106 veces

Marco Uriel

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 6
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
Hola a todos.

Estoy tratando de expresar solamente mediante símbolos la siguiente proposición:

"Todo recta tiene un punto exterior que está en un plano que la contiene".

La mejor forma que alcancé para hacerlo es la siguiente:

\[ \forall{R} (p|p \in{P|R\subset{P}} \not\in R) \]

Aquí R=Recta, P=Plano y p=punto.

El signo "|" es un descriptor, de modo que la expresión anterior puede traducirse a:

Para toda recta, el punto tal que está en un plano tal que contiene a la recta no está en la recta.

Que según yo es lo que quería.

Pero, ¿es correcta mi simbolización?

Sé que los descriptores no son signos que se vean usualmente en los textos de lógica, si alguien sabe de algún texto que no sea el de Carlos Ivorra castillo o Jesús Mosterín que trate a los descriptores ¿podría ser tan amable de señalármelo en un comentario?

Y es que quiero saber más sobre los descriptores en la lógica porque pretende demostrar la proposición anterior a partir de los axiomas de incidencia de la geometría absoluta pero haciendo esto de una manera que solo aplique reglas de inferencia y símbolos, sin palabras pues.

21 Julio, 2021, 06:39 pm
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,590
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Antes de nada, recuerda que debes encerrar las fórmulas entre etiquetas [ tex ] [ /tex ] (sin los espacios) para que se vean bien. Por esta vez ya lo he arreglado yo.

Lo que propones no es válido porque para que un término con descriptor denote el objeto que quieres la descripción debe ser propia, es decir, debe existir un único objeto que cumpla la fórmula. Aquí por ejemplo, \[ P|R \subset P \] no es una descripción propia, pues dada una recta cualquiera hay infinitos planos que la contienen (suponiendo que estamos en dimensión mayor que dos, claro).

Lo que quieres expresar lo podrías expresar así:
\[ \forall R \exists P \exists p (R \subset P \wedge p \in P \wedge p \notin R) \]
En palabras: para cada recta \[ R \] existe un plano \[ P \] y un punto \[ p \] tal que \[ R \] está contenida en \[ P \], \[ p \] es un punto de \[ P \], y \[ p \] no está en \[ R \] (es exterior a la recta).

Al margen de esto, otro asunto que te deberías plantear es con qué lenguaje estás trabajando. Fíjate que en la fórmula que te he puesto se están usando variables (y cuantificando sobre ellas) de tres tipos distintos: puntos, rectas y planos. Esto se puede hacer con lógica de primer orden "many-sorted", que es una modificación inocua de la lógica de primer orden usual. Entonces tendrías tres tipos de objetos y tres relatores diádicos: \[ \in \] como relator entre puntos y rectas, \[ \in \] (aunque quizás sería mejor usar signos distintos para no confundirse) como relator entre puntos y planos y \[ \subset \] como relator entre rectas y planos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)