Autor Tema: Densidad en R^n

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11 Julio, 2021, 06:06 pm
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Dark

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Sea $$A\subseteq \mathbb R^n$$. Muestre que existe $$E\subseteq A$$ enumerable tal que $$E$$ es denso en $$A$$.

Tengo la duda de que le hace falta alguna condición a $$A$$ para que esto sea cierto, porque así tal cual no he podido probarlo.

11 Julio, 2021, 06:47 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    • Fernando Revilla
Sea $$A\subseteq \mathbb R^n$$. Muestre que existe $$E\subseteq A$$ enumerable tal que $$E$$ es denso en $$A$$.

\( \mathbb{R}^n \) es separable pues \( \overline{\mathbb{Q}^n}=\mathbb{R}^n \) con \( \mathbb{Q}^n \) contable. Ahora, en general, si \( X \) es un espacio métrico separable y \( A\subset  X \), entonces \( A \) contiene un subconjunto denso contable, mira aquí: https://math.stackexchange.com/questions/1413738/every-convex-set-in-mathbb-rn-has-a-countable-and-dense-subset

11 Julio, 2021, 07:10 pm
Respuesta #2

Dark

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Se cumpliría si tomamos $$A=\mathbb N^n$$?

11 Julio, 2021, 07:16 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Se cumpliría si tomamos $$A=\mathbb N^n$$?

Claro, la demostración es válida para cualquier subconjunto de un espacio separable que contiene a un subconjunto contable y denso.

11 Julio, 2021, 11:10 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Puedes mirar por aquí también:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=10594.msg43898#msg43898

Se cumpliría si tomamos $$A=\mathbb N^n$$?

 De todas formas ese caso particular es trivial porque el propio \( A=\mathbb N^n \) ya es numerable y obviamente denso en el mismo.

Saludos.