Autor Tema: Conexidad en R^2

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06 Julio, 2021, 10:48 pm
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Dark

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Quiero mostrar que los siguientes conjuntos son conexos por caminos.

$$A=\left\{{(x,0):0\leq{x}\leq{1}}\right\}$$, y $$B_n=\left\{{(\frac{1}{n},y):0\leq{y}\leq{1}}\right\}$$ para cada $$n\in \mathbb N$$.


Debo considerar una función $$f:[0,1]\longrightarrow{A}$$, con $$f(0)=(0,0)$$ y $$f(1)=(x,0)$$?, no tengo claro como debo definir un camino entre dichos conjuntos.

07 Julio, 2021, 12:02 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Quiero mostrar que los siguientes conjuntos son conexos por caminos.

$$A=\left\{{(x,0):0\leq{x}\leq{1}}\right\}$$, y $$B_n=\left\{{(\frac{1}{n},y):0\leq{y}\leq{1}}\right\}$$ para cada $$n\in \mathbb N$$.


Debo considerar una función $$f:[0,1]\longrightarrow{A}$$, con $$f(0)=(0,0)$$ y $$f(1)=(x,0)$$?, no tengo claro como debo definir un camino entre dichos conjuntos.

Pero cada uno de esos conjuntos son segmentos. ¿Los has dibujado? ¿Eres consciente de eso?.

 Es inmediato construir un camino entre cualquier par de sus puntos. Dados cualquier par de puntos \( P \) y \( Q \) en ellos basta que definas:

\( f:[0,1]\to X,\qquad f(t)=tP+(1-t)Q \)

 donde \( X \) es \( A \) o cualquiera de los conjuntos \( B_n \).

Saludos.