Autor Tema: Calcular Directriz para PARABOLA inclinada u oblicua

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06 Julio, 2021, 01:40 am
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felipevaldes

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Hola a todos, llevo algunas horas intentando obtener una ecuación general para la directriz de una parábola a partir de la coordenada del Foco (\( F_x \),\( F_y \) ) y el Vértice (\( V_x \),\( V_y \)). Intente diferentes parametrizaciones, incluyendo en polares, pero no lo logre.

Según entiendo, la ecuación general de la parábola es:

                                              \( Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey=F \)   \( [1] \)

Teniendo como condiciones:
\( B^2-4AC=0 \)
\( A \) y \( C \) no pueden ser nulos al mismo tiempo.

La ecuación de la directriz al ser una recta queda así:

                                             \( Gx+Hy+I=0 \)   \( [2] \)
Despejando \( x \):

                                             \( y=\displaystyle\frac{-Gx-I}{H} \)   \( [3] \)

La distancia mínima entre el Foco y la directriz viene dada por el parámetro \( P \), siendo \( \displaystyle\frac{P}{2} \) la distancia mínima entre la directriz y el Vértice de la parábola.

Aquí las parábolas verticales y horizontales :

https://www.universoformulas.com/imagenes/matematicas/geometria/cuadro-configuracion-parabolas.jpg

Mi pregunta es como quedan las ecuaciones \( [2] \) y/o \( [3] \) en el caso que la parábola tenga una inclinación de por ejemplo 20°.

Les agradecería muchísimo cualquier ayuda.





06 Julio, 2021, 02:34 am
Respuesta #1

delmar

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Hola felipevaldes

Bienvenido al foro


Es conveniente tener en cuenta las propiedades de la directriz de la parábola, hay un punto de la directriz que pertenece al eje de la parábola S, que dista del vértice v, la misma distancia que hay entre el foco F y el vértice, de tal manera que el vértice es el punto medio del segmento SF, ya se tiene un punto. La otra propiedad es que la directriz es perpendicular al eje de la parábola, en esas condiciones se tiene :

Vectorialmente \( \vec{S}=\vec{V}+(-1)(\vec{F}-\vec{V}) \) por tenerse las coordenadas de V y F esta determinado S

El vector dirección del eje de la parábola, es \( \vec{F}-\vec{V} \), en consecuencia el vector dirección de la directriz será un vector  perpendicular \( \vec{d} \) precisando es un vector tal que \( \vec{d}\cdot{(\vec{F}-\vec{V})}=0 \)

Conociendo el punto \( \vec{S} \) y el vector dirección  \( \vec{d} \) de la directriz, se puede determinar la ecuación vectorial de la directriz ¿Qué te parece si lo haces?


Saludos

Nota : Al conocerse el foco y el vértice en realidad ya se conoce el eje de la parábola, en este caso ese eje a de tener una inclinación de 20º, las ecuaciones cartesianas se obtienen de las ecuaciones vectoriales

08 Julio, 2021, 12:37 am
Respuesta #2

felipevaldes

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Gracias por esa respuesta tan completa, me quedo más claro como abordar el problema.  :D