Autor Tema: Fibrados de referencias ortonormales y orientación

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22 Julio, 2021, 11:37 am
Respuesta #10

Restituto

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Coincido con tu opinión, lo de la involución es ingenioso, pero no consigo relacionar la forma bilineal compleja con la geometría Minkowskiana(principio de la sección 18.3 del libro) . Mi idea era que las particularidades geométricas de esta(incluida la de vectores ortogonales a si mismos) se deben a la signatura indefinida de la forma cuadrática real, y en el caso bilineal complejo se pierde la noción de signos de la signatura, solo permanece el rango. No sé, ¿hay alguna manera de ver esta ortogonalidad de Minkowski con la métrica compleja?
Como dices la métrica hermítica no tiene relación con esto, en este tema surgió porque me la indicaste con mucha razón como generalización compleja adecuada de la métrica euclídea. Sin embargo en el caso de la métrica hermítica creo que sí se puede usar grupos unitarios de signatura (p, q) y de hecho en teoría cuàntica de campos se usan operadores hermíticos y conjugación hermítica tanto en el espacio unitario de Hilbert de dimensión infinita como en espacios de campos de dimensión finita en sus representaciones irreducibles no unitarias espinoriales.

23 Julio, 2021, 07:14 am
Respuesta #11

geómetracat

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Coincido con tu opinión, lo de la involución es ingenioso, pero no consigo relacionar la forma bilineal compleja con la geometría Minkowskiana(principio de la sección 18.3 del libro) . Mi idea era que las particularidades geométricas de esta(incluida la de vectores ortogonales a si mismos) se deben a la signatura indefinida de la forma cuadrática real, y en el caso bilineal complejo se pierde la noción de signos de la signatura, solo permanece el rango. No sé, ¿hay alguna manera de ver esta ortogonalidad de Minkowski con la métrica compleja?
Bueno, creo que es simplemente que la forma bilineal compleja restringida al subespacio de puntos fijos de la involución te da la métrica de Minkowski. Los puntos que corresponden a Minkowski aquí son los de la forma \[ (it,x,y,z) \] con \[ t,x,y,z\in \Bbb R \]. Entonces por ejemplo, si tomas \[ t \] que cumpla \[ t^2=x^2+y^2+z^2 \] al aplicarle la forma cuadrática asociada a la forma bilineal compleja a \[ (it,x,y,z) \] obtienes \[ (it)^2+x^2+y^2+z^2=-t^2+x^2+y^2+z^2=0 \]. Así que este \[ (it,x,y,z) \] es "ortogonal" a sí mismo, en el sentido de la forma bilineal compleja (y por tanto también de la métrica de Minkowski en el subespacio de puntos fijos, que corresponde al espacio de Minkowski).
No creo que haya mucho más que esto, o al menos yo no veo nada mucho más profundo.

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Como dices la métrica hermítica no tiene relación con esto, en este tema surgió porque me la indicaste con mucha razón como generalización compleja adecuada de la métrica euclídea. Sin embargo en el caso de la métrica hermítica creo que sí se puede usar grupos unitarios de signatura (p, q) y de hecho en teoría cuàntica de campos se usan operadores hermíticos y conjugación hermítica tanto en el espacio unitario de Hilbert de dimensión infinita como en espacios de campos de dimensión finita en sus representaciones irreducibles no unitarias espinoriales.
Sí, es verdad. Los grupos pseudounitarios \[ U(p,q) \] salen al considerar las métricas pseudohermíticas del tipo \[ ds^2=-||z_1||^2-\dots-||z_p||^2+||z_{p+1}||^2+\dots +||z_{p+q}||^2 \]. Bajo mi punto de vista, esta es la generalización correcta de la geometría pseudoriemanniana al caso de variedades complejas.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Julio, 2021, 01:46 pm
Respuesta #12

Restituto

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Bueno, creo que es simplemente que la forma bilineal compleja restringida al subespacio de puntos fijos de la involución te da la métrica de Minkowski. Los puntos que corresponden a Minkowski aquí son los de la forma \[ (it,x,y,z) \] con \[ t,x,y,z\in \Bbb R \]. Entonces por ejemplo, si tomas \[ t \] que cumpla \[ t^2=x^2+y^2+z^2 \] al aplicarle la forma cuadrática asociada a la forma bilineal compleja a \[ (it,x,y,z) \] obtienes \[ (it)^2+x^2+y^2+z^2=-t^2+x^2+y^2+z^2=0 \]. Así que este \[ (it,x,y,z) \] es "ortogonal" a sí mismo, en el sentido de la forma bilineal compleja (y por tanto también de la métrica de Minkowski en el subespacio de puntos fijos, que corresponde al espacio de Minkowski).
No creo que haya mucho más que esto, o al menos yo no veo nada mucho más profundo.

Ah, vale, gracias. Yo buscándole significados más esotéricos y no era nada más que al elegir la operación de conjugación del signo adecuado obviamente en la sección real recuperamos las signaturas indefinidas correspondientes que permiten lo que explicas.



23 Julio, 2021, 01:55 pm
Respuesta #13

geómetracat

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Ah, vale, gracias. Yo buscándole significados más esotéricos y no era nada más que al elegir la operación de conjugación del signo adecuado obviamente en la sección real recuperamos las signaturas indefinidas correspondientes que permiten lo que explicas.

Sí, justo eso. Pero vaya, es lo que decíamos antes, no deja de ser una versión sofisticada del truco del \[ it \], pero no acabo de ver muy bien si este punto de vista aporta algo demasiado interesante o profundo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Julio, 2021, 05:38 pm
Respuesta #14

Restituto

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no acabo de ver muy bien si este punto de vista aporta algo demasiado interesante o profundo.
Yo tampoco. En mi opinión es mucho más interesante en cuanto a complexificación la del álgebra y grupo de Lie de Lorentz para conseguir su semisimplicidad y de la que se obtiene como forma real la representación proyectiva de campos espinoriales en 4D. Si te gusta la teoría de representación de grupos de Lie igual te suena la "unitarian trick" de Weyl.

Desafortunadamente en la mayoría de los libros de Física se evita a menudo entrar mucho en estos detalles matemáticos pero a mí me parecen esenciales para entender bien las teorías localmente relativistas.

23 Julio, 2021, 08:39 pm
Respuesta #15

geómetracat

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Yo tampoco. En mi opinión es mucho más interesante en cuanto a complexificación la del álgebra y grupo de Lie de Lorentz para conseguir su semisimplicidad y de la que se obtiene como forma real la representación proyectiva de campos espinoriales en 4D. Si te gusta la teoría de representación de grupos de Lie igual te suena la "unitarian trick" de Weyl.
Tendría que repasar estas cosas, pero desde luego en la teoría de representación de álgebras y grupos de Lie la complexificación juega un papel importante, mucho más que aquí que es anecdótico.

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Desafortunadamente en la mayoría de los libros de Física se evita a menudo entrar mucho en estos detalles matemáticos pero a mí me parecen esenciales para entender bien las teorías localmente relativistas.
Totalmente de acuerdo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)