Autor Tema: Duda de geometría

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27 Junio, 2021, 07:19 pm
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Rientu

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Hola a todos, alguien me podría ayudar con este ejercicio de geometría? He conseguido hallar el radio de la circunferencia pero no soy capaz a seguir.



Moderación: imagen añadida (y mejorado el contraste para que se vea mejor).


27 Junio, 2021, 07:43 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola a todos, alguien me podría ayudar con este ejercicio de geometría? He conseguido hallar el radio de la circunferencia pero no soy capaz a seguir.



Moderación: imagen añadida (y mejorado el contraste para que se vea mejor).



¿Seguir en qué exactamente? Es decir, ¿en qué consiste el ejercicio? Ahí sólo veo un diagrama. ¿Te refieres a hallar el área sombreada?

27 Junio, 2021, 07:49 pm
Respuesta #2

Rientu

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EXacto, el área sombreada. Gracias!

27 Junio, 2021, 07:55 pm
Respuesta #3

Masacroso

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EXacto, el área sombreada. Gracias!

Ok, ¿conoces el teorema de Stokes? Es decir, ¿tienes alguna forma de calcular el área parametrizando el contorno de la misma? No conozco herramientas más elementales que las de este tipo para calcular un área plana encerrada dentro de una curva cerrada.

Si \( A \) es el conjunto del que quieres conocer su área y parametrizas la curva que encierra el área por una función \( \gamma :[a,b]\to \partial A,\, t\mapsto (\gamma _1(t),\gamma _2(t)) \) entonces tienes que

\( \displaystyle{
\operatorname{Área}(A)=\int_{A}\mathop{}\!d (x,y)=\int_{\partial A}x\mathop{}\!d y=\int_{a}^b \gamma _1(t) d \gamma _2(t)=\int_{a}^b \gamma _1(t)\gamma _2'(t)\mathop{}\!d t
} \)

No importa que la parametrización \( \gamma  \) no sea diferenciable en un número finito de puntos (es decir, que la curva que encierra el área, como la de este caso, tenga algunas esquinas).

Añado: bueno, otra forma que conozco, que no requiere herramientas tan avanzadas, sería parametrizar directamente el conjunto \( A \) y calcular así su área.

Además hay otra herramienta que puedes usar mucho más elemental (no había caído en la cuenta antes  :banghead:) y es que tu área es el área entre dos funciones: la recta que define la hipotenusa del triángulo, y el arco de la circunferencia que va por debajo, por tanto si \( f \) es la función que define la hipotenusa y \( g \) la función que define la semicircunferencia superior del círculo entonces el área a calcular sería del tipo

\( \displaystyle{
\int_{a}^b (f(x)-g(x))\mathop{}\!d x
} \)

para puntos \( a \) y \( b \) pertinentes.

27 Junio, 2021, 08:10 pm
Respuesta #4

Rientu

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Es un ejercicio de 1º bachiller, no saben integrar aún. Pero gracias de todas formas. Te mando una foto de como he empezado yo por si te ocurre algo. Gracias.



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27 Junio, 2021, 08:33 pm
Respuesta #5

Masacroso

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Es un ejercicio de 1º bachiller, no saben integrar aún. Pero gracias de todas formas. Te mando una foto de como he empezado yo por si te ocurre algo. Gracias.



Moderación: añadida imagen y mejorado su contraste.

Ok. Si el triángulo grande es equilátero (habría que comprobarlo, así a ojo de buen cubero no lo sé) entonces el área sería \( \frac1{6}(T-C) \), donde \( T \) es el área del triángulo grande donde está circunscrito el círculo, y \( C \) sería el área del círculo. Sería ése el resultado por simetría, es decir, las áreas de cada esquina serían iguales y el área que quieres calcular es la mitad del área de una de las esquinas (por esquinas me refiero a las áreas en cada esquina entre el círculo y el triángulo), de ahí el dividir por seis.

Si el triángulo grande no es equilátero entonces no sabría cómo hallar ese área sin integrar ya que mis conocimientos de geometría sintética son nulos, lo siento.

P.D.: cuando subas una imagen, para luego poder verla, una vez posteado el mensaje tienes que copiar la dirección del enlace del fichero imagen subido, darle a editar el mensaje que acabas de publicar y entre etiquetas de imagen [img] y [/img] poner la dirección y publicar el mensaje editado, entonces la imagen ya se vería dentro de tu mensaje.

27 Junio, 2021, 08:36 pm
Respuesta #6

Rientu

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Es isósceles

27 Junio, 2021, 08:52 pm
Respuesta #7

Masacroso

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Es isósceles

Ya tengo una solución: (respecto a tu última imagen) si tomas el triángulo definido por el centro del círculo \( O \), el ápice del triángulo grande \( A_1 \) y el punto donde se tocan el círculo y la hipotenusa \( A_2 \) entonces el área sería \( T-S \), donde \( T \) es el área del triángulo \( OA_1A_2 \) y \( S \) el área de la sección de círculo dentro del triángulo \( OA_1A_2 \), el cual es proporcional al ángulo que la define (el ángulo entre \( OA_1 \) y \( OA_2 \)) y el área total del círculo (es decir, que \( S=C \frac{\alpha }{2\pi} \), donde \( C \) es el área del círculo).

Añadido: pongo imagen para que se vean más claros los datos de interés:


27 Junio, 2021, 08:56 pm
Respuesta #8

Rientu

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ah coño, ya lo vi. Mil gracias!!

07 Julio, 2021, 04:04 am
Respuesta #9

ingmarov

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