Autor Tema: Probar que es conexo por caminos

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02 Junio, 2021, 09:56 pm
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cristianoceli

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Hola tengo dudas con este ejercicio

Sea \( U \) un abierto de \( {\mathbb{R}}^n, n\geq{2} \). Pruebe que \( U \) es conexo si y solo si \( U \) es conexo por caminos.

Lo que he hecho:

Sea \( f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R^n} \) una fucion en linea recta que une \( x,y \in U \). Si \( f[a,b]\subset U \) quedo probado si no consideremos \( x_1,x_2,\dots,x_n\in U \) tal que \( x_i,x_{i+1} \) estará dentro de \( U \)

De antemano gracias

02 Junio, 2021, 11:13 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( U \) un abierto de \( {\mathbb{R}}^n, n\geq{2} \). Pruebe que \( U \) es conexo si y solo si \( U \) es conexo por caminos.

Lo que he hecho:

Sea \( f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R^n} \) una fucion en linea recta que une \( x,y \in U \). Si \( f[a,b]\subset U \) quedo probado si no consideremos \( x_1,x_2,\dots,x_n\in U \) tal que \( x_i,x_{i+1} \) estará dentro de \( U \)

No entiendo muy bien lo que dices que has hecho.

Spoiler
Una parte de la implicación es inmediata: todo conexo por caminos es conexo.

Suele probarse teniendo en cuenta dos cosas:

1) La unión arbitraria de conexos con un punto en común es conexa.
2) Si es conexo por caminos todo punto puede unirse por un conexo (un camino) a un punto fijo.
[cerrar]

Para el recíproco dado un punto \( x_0\in U \), sea \( A=\{x\in U|x\textsf{ se conecta con }x_0\textsf{ por un camino}\} \). Prueba que \( A \) es abierto y cerrado en \( U \); por tanto por ser \( U \) conexo y \( A \) no vacío \( U=A \) y así \( U \) es conexo por caminos.

Para ver que es abierto ten en cuenta que dado cualquier \( a\in A\subset U \), tomando una bola \( B(a,r)\subset U \), cualquier punto \( z \) de tal bola puede conectarse trivialmente por un camino con \( a \); como éste se conecta con \( x_0 \), a su vez \( z \) se conecta con \( z \) y así \( B(a,r)\subset U \).

Para ver que es cerrado dado \( a\in \bar A \), existe una bola \( B(a,r)\subset U \) que corta a \( A \) en al menos un punto \( b \). Pero entonces todo punto \( a \) se conecta con \( b \) y éste con \( x_0 \). Así \( a\in A \).

Saludos.