Autor Tema: Probar que es de Hausdorff

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02 Junio, 2021, 09:47 pm
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cristianoceli

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola tengo dudas con este ejercicio

Sean \( X, Y  \)dos espacios topologicos homeomorfos. Pruebe X es Hausdorff si y solo si \( Y \) es Hausdorff

De antemano gracias

02 Junio, 2021, 11:18 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola tengo dudas con este ejercicio

Sean \( X, Y  \)dos espacios topologicos homeomorfos. Pruebe X es Hausdorff si y solo si \( Y \) es Hausdorff

Es muy inmediato: usa el homeomorfismo para trasladar puntos y abiertos de un conjunto a otro.

Si tienes \( f:X\to Y \) el homeomorfismo entre ambos y \( X  \)es Hausdorff, para ver que \( Y \) también lo es, toma dos puntos \( y,y'\in Y \) distintos llévalos a \( X \) por \( f^{-1}  \); sepáralos allí por abiertos (por ser \( X  \)es Hausdorff) y trasládalos a abiertos que separen \( y,y' \) mediante \( f \).

Completa los detalles y haz lo análogo cuando \( Y \)es Hausdorff.

Saludos.


02 Junio, 2021, 11:36 pm
Respuesta #2

cristianoceli

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Hola

Hola tengo dudas con este ejercicio

Sean \( X, Y  \)dos espacios topologicos homeomorfos. Pruebe X es Hausdorff si y solo si \( Y \) es Hausdorff

Es muy inmediato: usa el homeomorfismo para trasladar puntos y abiertos de un conjunto a otro.

Si tienes \( f:X\to Y \) el homeomorfismo entre ambos y \( X  \)es Hausdorff, para ver que \( Y \) también lo es, toma dos puntos \( y,y'\in Y \) distintos llévalos a \( X \) por \( f^{-1}  \); sepáralos allí por abiertos (por ser \( X  \)es Hausdorff) y trasládalos a abiertos que separen \( y,y' \) mediante \( f \).

Completa los detalles y haz lo análogo cuando \( Y \)es Hausdorff.

Saludos.

Muchas gracias muy claro.

Saludos