Autor Tema: Duda con definición de espacio topológico

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26 Mayo, 2021, 03:14 pm
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julian403

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Dado un conjunto M, este es un espacio topológico si:

1 - Sea \(  x \in{M} \), existe un espacio abierto con centro en \( x \) y radio  \(  \varepsilon / \varepsilon > 0  \) 

Eso implica lo siguiente. El conjunto M, no tiene frontera. ¿Es correcto?

Por ejemplo, M el conjunto de puntos \(  (x,y,z)  \) tal que \( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}=1 \) es un espacio topológico ya que para cada punto \(  (x',y',z')  \), existe un entorno abierto con radio \( \varepsilon \) y centro en \(  (x',y',z')  \)

Pero, el conjunto de puntos \(  (x,y,z)  \), tal que \(  \left |{x}\right | \leq{3}   \), \(  \left |{y}\right | \leq{3}   \),\(  \left |{z}\right | \leq{3}   \), no es un espacio topológico ya que en el punto \( (3,3,3) \) no existe un espacio abierto con radio \(  \varepsilon >0  \). ¿Es correcto?

26 Mayo, 2021, 08:29 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola julian403. Creo que tus dudas pueden venir de no colocar las definiciones precisas. Para ponernos de acuerdo, indico los links donde estoy revisando las definiciones:

- Espacio topológico.

- En vez de espacio abierto, yo conozco la definición de conjunto abierto.

Dado un conjunto M, este es un espacio topológico si:

1 - Sea \(  x \in{M} \), existe un espacio abierto con centro en \( x \) y radio  \(  \varepsilon / \varepsilon > 0  \) 

Un conjunto es abierto si para cada uno de sus elementos \( x \) existe \( \epsilon>0 \) tal que la bola abierta de centro en \( x \) y radio \( \epsilon \) está contenido en él. Eso de "estar contenido" faltó en tu definición.

Por ejemplo, M el conjunto de puntos \(  (x,y,z)  \) tal que \( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}=1 \) es un espacio topológico ya que para cada punto \(  (x',y',z')  \), existe un entorno abierto con radio \( \varepsilon \) y centro en \(  (x',y',z')  \)

El conjunto \( \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:z^2+y^2+z^2=1\} \) no es abierto, ya que las bolas que construiste no están incluidas en el conjunto. De hecho basta con encontrar un punto \( (x',y',z') \) en el conjunto para el cual no exista \( \epsilon>0 \) tal que la bola de centro en \( (x',y',z') \) y radio \( \epsilon>0 \) no esté incluida en el conjunto.

Es el mismo argumento que usaste en tu último ejemplo.

Así que tienes razón, si un conjunto no vacío contiene a su frontera, entonces no es abierto.

26 Mayo, 2021, 08:54 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Dado un conjunto M, este es un espacio topológico si:

1 - Sea \(  x \in{M} \), existe un espacio abierto con centro en \( x \) y radio  \(  \varepsilon / \varepsilon > 0  \) 

Concuerdo con lo dicho con Mathtruco.

Revisa esa definición, el libro o los apuntes. Tal como lo has escrito no tiene mucho sentido. No está claro si estás trabajando en espacios métrico. Tampoco es una definición bien escrita.

¿Dónde aparece?.

Saludos.