Autor Tema: Arcoconexidad y Conexidad de Espacios Topológicos

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24 Mayo, 2021, 03:40 pm
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Ariel Fernández

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Buenos días. Mi duda tiene que ver sobre decidir si un conjunto A formado por dos círculos  abiertos ( o sea sin incluir la circunferencia) que sean tangente exteriores conforman un conjunto conexo y conexo por caminos, siempre con la topología usual del plano. Yo digo que no es conexo porque uno puede pensar siempre en una recta que pase por el punto de tangencia de ambos círculos y así concebir una separación del conjunto usando la topología inducida, o sea tomando los dos semiplanos abiertos que me determina la recta en intersección que el conjunto A me daría dos abiertos disjuntos en la topología inducida por la usual en A  cuya unión sería A. Luego, no sería conexo por caminos tampoco porque cada vez que deseo pasar de un punto interior de cada círculo  al otro círculos no se me es posible porque no puedo encontrar un camino contenido en A que uno esos dos puntos , ya que tendría que pasarme en teoría por el punto de tangencia para acceder al otro círculo, pero dijimos que al ser círculos abiertos ese punto de tangencia no pertenece a A. En cambio, si añadimos el punto de tangencia como parte del conjunto A , ahí sí sería un conjunto conexo por caminos y también conexo. ¿Alguien podría decirme si la justificación es correcta? Saludos

24 Mayo, 2021, 05:30 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenos días. Mi duda tiene que ver sobre decidir si un conjunto A formado por dos círculos  abiertos ( o sea sin incluir la circunferencia) que sean tangente exteriores conforman un conjunto conexo y conexo por caminos, siempre con la topología usual del plano. Yo digo que no es conexo porque uno puede pensar siempre en una recta que pase por el punto de tangencia de ambos círculos y así concebir una separación del conjunto usando la topología inducida, o sea tomando los dos semiplanos abiertos que me determina la recta en intersección que el conjunto A me daría dos abiertos disjuntos en la topología inducida por la usual en A  cuya unión sería A.

Correcto.

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Luego, no sería conexo por caminos tampoco porque cada vez que deseo pasar de un punto interior de cada círculo  al otro círculos no se me es posible porque no puedo encontrar un camino contenido en A que uno esos dos puntos , ya que tendría que pasarme en teoría por el punto de tangencia para acceder al otro círculo, pero dijimos que al ser círculos abiertos ese punto de tangencia no pertenece a A.


Correcto. De hecho directamente: conexo por caminos implica conexo. Si no es conexo no puede ser conexo por caminos.

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En cambio, si añadimos el punto de tangencia como parte del conjunto A , ahí sí sería un conjunto conexo por caminos y también conexo. ¿Alguien podría decirme si la justificación es correcta? Saludos

Si; cualquier punto de cualquiera de las dos circunferencias puede unirse por un segmento con el punto de tangencia. Por tanto hay un camino que une cualquier par de puntos.

Saludos.

24 Mayo, 2021, 06:50 pm
Respuesta #2

Ariel Fernández

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Perfecto. Claro, me había olvidado que  si conexo por caminos implica conexo, quiere decir que el ser conexo es una condición necesaria para ser conexa por caminos. Muchas gracias Luis. Saludos