Autor Tema: Probar que es de Hausdorff

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

27 Abril, 2021, 10:42 pm
Leído 984 veces

cristianoceli

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 806
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola tengo problemas en demostrar este ejercicio

Sea \( X \) un espacio topológico tal que  para cada \( x \in{X} \) existe una función continua:

$$f_x : X \longrightarrow{\mathbb{R}}$$

Tal que \( f_x(0)^{-1} = \{ x \}  \). Probar que \( X \) es \( Hausdorff \)

Tengo entendido que es de Hausdorff si dos puntos cualquiera admiten vecindades disjuntas.


De antemano gracias

27 Abril, 2021, 11:11 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,834
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola tengo problemas en demostrar este ejercicio

Sea \( X \) un espacio topológico tal que  para cada \( x \in{X} \) existe una función continua:

$$f_x : X \longrightarrow{\mathbb{R}}$$

Tal que \( f_x(0)^{-1} = \{ x \}  \). Probar que \( X \) es \( Hausdorff \)

Tengo entendido que es de Hausdorff si dos puntos cualquiera admiten vecindades disjuntas.

Dado \( y\neq x \), si \( f_x(y)=a \) comprueba que \( f_x^{-1}((a-|a|/3,a+|a|/3)) \) y\(  f_x^{-1}((-|a|/3,|a|/3)) \) son abiertos disjuntos que separan \( x \) e \( y \).

Saludos.

27 Abril, 2021, 11:58 pm
Respuesta #2

cristianoceli

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 806
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola tengo problemas en demostrar este ejercicio

Sea \( X \) un espacio topológico tal que  para cada \( x \in{X} \) existe una función continua:

$$f_x : X \longrightarrow{\mathbb{R}}$$

Tal que \( f_x(0)^{-1} = \{ x \}  \). Probar que \( X \) es \( Hausdorff \)

Tengo entendido que es de Hausdorff si dos puntos cualquiera admiten vecindades disjuntas.

Dado \( y\neq x \), si \( f_x(y)=a \) comprueba que \( f_x^{-1}((a-|a|/3,a+|a|/3)) \) y\(  f_x^{-1}((-|a|/3,|a|/3)) \) son abiertos disjuntos que separan \( x \) e \( y \).

Saludos.

Entiendo lo que hay que comprobar pero por que tomar esos puntos.

EDITO YA ME DI CUENTA

Saludos

03 Mayo, 2021, 01:48 am
Respuesta #3

cristianoceli

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 806
  • País: cl
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Estuve tratando de hacerlo por la idea que me diste:

No se si la formalidad sea la correcta:

Sean: \( x \in X, y \in X \smallsetminus \{x\} \),  \( a = f(y) \).  Observe que \( a \neq 0 \) ya que \( y \not\in f_x^{-1}(0) \). 

- Si \( a < 0 \),

$$  a - |a|/3 < a + |a|/3 < -|a|/3 < |a|/3  \text{,}  $$

- Si \( a > 0 \),

$$  -|a|/3 < |a|/3 < a - |a|/3 < a + |a|/3  \text{.}  $$

Así \( I' = (-|a|/3 , |a|/3) \) y \( J' = (a - |a|/3, a + |a|/3) \) son abiertos disjuntos en \( \Bbb{R} \).  Sea \( I = f_x^{-1}(I') \) y \( J = f_x^{-1}(J'). \)

¿Como se te ocurrio tomar \( f_x^{-1}((a-|a|/3,a+|a|/3)) \) , y \( f_x^{-1}((-|a|/3,|a|/3)) \) ?

Saludos

03 Mayo, 2021, 09:01 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,834
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

No se si la formalidad sea la correcta:

Sean: \( x \in X, y \in X \smallsetminus \{x\} \),  \( a = \color{red}f(y)\color{black} \).  Observe que \( a \neq 0 \) ya que \( y \not\in f_x^{-1}(0) \). 

Es: \( a = \color{red}f_x(y)\color{black} \).

Citar
- Si \( a < 0 \),

$$  a - |a|/3 < a + |a|/3 < -|a|/3 < |a|/3  \text{,}  $$

- Si \( a > 0 \),

$$  -|a|/3 < |a|/3 < a - |a|/3 < a + |a|/3  \text{.}  $$

Así \( I' = (-|a|/3 , |a|/3) \) y \( J' = (a - |a|/3, a + |a|/3) \) son abiertos disjuntos en \( \Bbb{R} \).  Sea \( I = f_x^{-1}(I') \) y \( J = f_x^{-1}(J'). \)

Bien.

Citar
¿Como se te ocurrio tomar \( f_x^{-1}((a-|a|/3,a+|a|/3)) \) , y \( f_x^{-1}((-|a|/3,|a|/3)) \) ?

En realidad se trata de tomar dos abierto \( U \) y \( V \) en \( \Bbb R \) que separen \( 0 \) y \( a \), es decir, tales que \( 0\in U \), \( a\in V \) y \( U\cap V=\emptyset \).

En concreto tomo entornos de \( 0 \) y \( a \) de radio \( |distancia(0,a)|/3. \)

Saludos.