Autor Tema: Elipse y círculo interno

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18 Abril, 2021, 07:08 pm
Respuesta #20

ToniGim

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Gracias ancape por tu tiempo. Es un lujo compartir problemas y respuestas.
Te propongo el siguiente problema:
Dibujar con geogebra el movimiento de la circunferencia interior según el eje X y que vaya de un "vértice" al otro (con las limitaciones que has dado R=a−D )

18 Abril, 2021, 07:35 pm
Respuesta #21

martiniano

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Hola.

La condición límite es cuando \( R= b\displaystyle\sqrt{1-\dfrac{D^2}{a^2-b^2}} = a-D \;\;\longrightarrow\;\; D=\dfrac{a^2-b^2}{a} \) , esto es antes del foco.  Luego cambia la ecuación de \( R \) pues el punto de tangencia es siempre \( a \)

Yo también quise dar a entender eso justo antes de que lo hicieras tú, pero me temo que es erróneo, o al menos hay algo que no me acaba de cuadrar. Fíjate que la fórmula con la que calculamos el radio da cero cuando el centro de la circunferencia se sitúa en el foco. Eso no tiene mucho sentido. En realidad, el punto de tangencia está en el vértice de la elipse a partir del centro del círculo osculador, que en general estará antes del foco, concretamente a una distancia del centro igual a \( a-\displaystyle\frac{b^2}{a} \), si no me he equivocado.

Aquí adjunto un Geogebra en el que he representado el círculo osculador en el vértice. Moviendo el punto \[ I \] se puede ver cómo varía el círculo interior a la elipse y tangente en \[ I \].


Un saludo.

18 Abril, 2021, 11:50 pm
Respuesta #22

Abdulai

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...
Yo también quise dar a entender eso justo antes de que lo hicieras tú, pero me temo que es erróneo, o al menos hay algo que no me acaba de cuadrar. Fíjate que la fórmula con la que calculamos el radio da cero cuando el centro de la circunferencia se sitúa en el foco. Eso no tiene mucho sentido. En realidad, el punto de tangencia está en el vértice de la elipse a partir del centro del círculo osculador, que en general estará antes del foco, concretamente a una distancia del centro igual a \( a-\displaystyle\frac{b^2}{a} \), si no me he equivocado.
...
No te entiendo, \( a-\displaystyle\frac{b^2}{a} \) es lo mismo que me dió a mi.

19 Abril, 2021, 12:47 am
Respuesta #23

ancape

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Gracias ancape por tu tiempo. Es un lujo compartir problemas y respuestas.
Te propongo el siguiente problema:
Dibujar con geogebra el movimiento de la circunferencia interior según el eje X y que vaya de un "vértice" al otro (con las limitaciones que has dado R=a−D )

La construcción es mas sencilla, pues basta elegir un punto cualquiera de la elipse, trazar la normal en él y hacer que se mueva.
Te adjunto hoja de Geogebra.


19 Abril, 2021, 07:14 am
Respuesta #24

martiniano

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Hola.

No te entiendo, \( a-\displaystyle\frac{b^2}{a} \) es lo mismo que me dió a mi.

Tienes toda la razón, Abdulai. Además tu mensaje es claro como el agua. Soy yo quien se ha despistado. Me hice un lío con esto de que es en el foco donde la expresión del principio deja de ser real.

Un saludo.

19 Abril, 2021, 11:11 am
Respuesta #25

ToniGim

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El radio de curvatura del vértice (a,0) vale b^2/a, por eso el último punto de desplazamiento es a- b^2/a

19 Abril, 2021, 11:41 am
Respuesta #26

ToniGim

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Gracias ancape por tu construcción de geogebra y, por favor, no te vayas del foro; tengo unos cuantos problemas sobre elipses que te pueden interesar
saludos