Autor Tema: Probar que es conexo

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27 Abril, 2021, 11:31 pm
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cristianoceli

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Hola no me sale esta demostración

Sea \( p \in {\mathbb{R}}^n, n \geq{1} \) . \( Probar \; que \; X= {\mathbb{R}}^n - \{P \} \) es conexo si y solo si \( n \neq 1 \)

Tengo entendido que no existe una partición ya que es conexo
De antemano gracias



28 Abril, 2021, 12:19 am
Respuesta #1

geómetracat

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Si \[ n=1 \], \[ (-\infty, P) \] y \[ (P,\infty) \] forman una partición de \[ X \] por conjuntos abiertos, luego \[ X \] no es conexo.

Para \[ n>1 \] puedes probar que es conexo por caminos. Dados \[ x,y \in X \], hay que ver que se puedeb unir por un camino. Si \[ P \] no está en el segmento de recta que une \[ x \] con \[ y \] ya estamos. En caso contrario toma \[ z \] un punto no colineal con \[ x,y \] y considera el camino formado por el segmento de recta que une \[ x \] con \[ z \] seguido del que une \[ z \] con \[ y \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Abril, 2021, 12:27 am
Respuesta #2

cristianoceli

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Si \[ n=1 \], \[ (-\infty, P) \] y \[ (P,\infty) \] forman una partición de \[ X \] por conjuntos abiertos, luego \[ X \] no es conexo.

Para \[ n>1 \] puedes probar que es conexo por caminos. Dados \[ x,y \in X \], hay que ver que se puedeb unir por un camino. Si \[ P \] no está en el segmento de recta que une \[ x \] con \[ y \] ya estamos. En caso contrario toma \[ z \] un punto no colineal con \[ x,y \] y considera el camino formado por el segmento de recta que une \[ x \] con \[ z \] seguido del que une \[ z \] con \[ y \].

Vale entiendo muy claro.

Saludos