Autor Tema: Un documento en Arxiv

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04 Abril, 2021, 09:42 pm
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Eradicuz

  • Eduardo Acuña
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Buenas mis compañeros del foro por peticion del dr Carlos Ivorra, vengo a dejarle este articulo en el que partise para la creacion de un Algoritmo llamado SAM, para encontrar soluciones para el problema de los 3 cubos, bueno la idea es generar una aproximacion a dichas soluciones y ver si son posibles, djunto el archivo o pueden leerlo en https://arxiv.org/abs/2103.17037
Superbia Custodit Nos Stantes

04 Abril, 2021, 10:33 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Buenas mis compañeros del foro por peticion del dr Carlos Ivorra, vengo a dejarle este articulo en el que partise para la creacion de un Algoritmo llamado SAM, para encontrar soluciones para el problema de los 3 cubos, bueno la idea es generar una aproximacion a dichas soluciones y ver si son posibles, djunto el archivo o pueden leerlo en https://arxiv.org/abs/2103.17037

No es exacto decir que te he pedido que publiques el artículo. Lo que yo te he dicho es que tu trabajo no prueba nada realmente, pues lo único que hace tu algoritmo es determinar si la ecuación \( x^3+y^3+z^3 = n \) tiene solución módulo \( 9 \) y que, aunque así sea, eso no prueba que la ecuación tenga solución, ni mucho menos te ayuda a encontrarla.

Es cierto que se conjetura que la ecuación tiene solución si y sólo si la tiene módulo \( 9 \), pero eso no está demostrado, y nada en tu artículo ayuda a demostrarlo, ya que te limitas a comprobar si existe o no la solución módulo 9, sin vincularlo de ninguna forma a que la ecuación tenga o no solución.

Lo que te había dicho es que si el hecho de que te lo diga yo no te convence, podías publicarlo aquí para obtener otras opiniones. La mía ya la tienes.

05 Abril, 2021, 11:39 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Concuerdo totalmente con lo dicho por Carlos Ivorra.

 Por otra parte, al final pareces contar el número de soluciones; lo haces trabajando módulo \( 9 \). ¿Pero cómo pretendes qué se interprete ese resultado?. Cuando dices que para \( n=33 \) hay \( 3 \) soluciones, ¿estás afirmando que sólo hay tres tripletas de números enteros cumpliendo \( x^3+y^3+z^3=33 \)?.

Saludos.

05 Abril, 2021, 02:05 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Por si sirve de algo, estoy totalmente de acuerdo con los comentarios de Carlos y Luis. En el artículo básicamente afirmas sin demostración que el número de soluciones enteras de la ecuación es el número de soluciones módulo \[ 9 \], pero esto no es nada obvio. Hay dos afirmaciones altamente no triviales: 1) toda solución módulo \[ 9 \] se puede "elevar" a una solución en los enteros (obviamente si no hay solución módulo \[ 9 \] tampoco la hay en los enteros, pero la implicación inversa no es nada obvia), y 2) toda solución módulo \[ 9 \] da lugar a una única solución entera, que tampoco es nada obvio pues podría haber varias soluciones enteras que dieran lugar a la misma solución módulo \[ 9 \].

Por otro lado, en ningún momento usas la forma de la ecuación \[ x^3+y^3+z^3=n \], por lo que parece que lo que afirmas debería ser válido para cualquier ecuación diofántica. Pero sin embargo no lo es, pues hay muchas ecuaciones diofánticas que proporcionan contraejemplos a las afirmaciones 1) y 2).

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Abril, 2021, 06:41 pm
Respuesta #4

Eradicuz

  • Eduardo Acuña
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Por si sirve de algo, estoy totalmente de acuerdo con los comentarios de Carlos y Luis. En el artículo básicamente afirmas sin demostración que el número de soluciones enteras de la ecuación es el número de soluciones módulo \[ 9 \], pero esto no es nada obvio. Hay dos afirmaciones altamente no triviales: 1) toda solución módulo \[ 9 \] se puede "elevar" a una solución en los enteros (obviamente si no hay solución módulo \[ 9 \] tampoco la hay en los enteros, pero la implicación inversa no es nada obvia), y 2) toda solución módulo \[ 9 \] da lugar a una única solución entera, que tampoco es nada obvio pues podría haber varias soluciones enteras que dieran lugar a la misma solución módulo \[ 9 \].

Por otro lado, en ningún momento usas la forma de la ecuación \[ x^3+y^3+z^3=n \], por lo que parece que lo que afirmas debería ser válido para cualquier ecuación diofántica. Pero sin embargo no lo es, pues hay muchas ecuaciones diofánticas que proporcionan contraejemplos a las afirmaciones 1) y 2).


Prop.
Si un número entero v esta elevado al cubo, entonces \(  rem(v^3,9)\equiv c \)  (mod \( 9 \)),  donde \( c\in C \) .
Demostración.
Asumamos que  \( rem(v^3,9)\not\equiv c \)  (mod \( 9 \)). Ahora por teorema de la división y asumiendo la hipótesis propuesta, podemos definir nuestro entero \( v \) en la forma \( v=9q+2 \), para cualquier entero \( q \). Luego, elevando nuestro entero \( v \) al cubo tendremos que:
\( v^3=(9q+2)^3 \)
                                       \(  =729q^3+486q^2+108q+8 \)
                                      \( =9(81q^3+54q^2+12q)+8 \).
Ahora, podemos afirmar que \( (81q^3+54q^2+12q)=t \), donde  \( t\in Z \). Además, nuevamente por el teorema de la división podemos reescribir a \( v^3 \) como se sigue:
                                                                    \( v^3=9t+8 \).
De lo anterior, obtenemos que el resto de \( v^3 \) dividido por \( 9 \) es  \( rem(v^3,9)=8 \). Pero como podemos observar, por definición de “Conjunto de cubos congruentes mod \( 9 \)”, entonces \( rem(v^3,9) \in C \), lo cual resulta ser absurdo, ya que \( rem(v^3,9)\not\equiv c \)  (mod \( 9 \)).
Superbia Custodit Nos Stantes

05 Abril, 2021, 06:46 pm
Respuesta #5

Eradicuz

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repito es una conjetura, asi que obviamente no tiene una demostracion aun, el aporte esta almenos en mi humilde opinion es que calculisticamente en mod9 puede encontrarse multiples combinaciones para un misma solucion, ahora si quieren que lo pruebe con el numero 33 y los numeros que encontro Andrew. B. pues sera un ejemplo largo pero como se habran dado cuenta coincidira con el algoritmo, nuestra propuesta es simplemente esa, si fijas una ecuacion en mod9, la pasas por el algoritmo, obtendras las combinaciones para encontrar soluciones para X numero, si la combinacion no existe, entonces X numero no es solucion, de la misma manera que puedes probarlo en una calculadora cualquiera.
Superbia Custodit Nos Stantes

05 Abril, 2021, 06:52 pm
Respuesta #6

Eradicuz

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Hola

 Concuerdo totalmente con lo dicho por Carlos Ivorra.

 Por otra parte, al final pareces contar el número de soluciones; lo haces trabajando módulo \( 9 \). ¿Pero cómo pretendes qué se interprete ese resultado?. Cuando dices que para \( n=33 \) hay \( 3 \) soluciones, ¿estás afirmando que sólo hay tres tripletas de números enteros cumpliendo \( x^3+y^3+z^3=33 \)?.

Saludos.

es correcto y tiene sentido estadistico, es muy dificil que las condiciones se den para encontrar un numero de clase 6, como lo es el 33, por todas las combinaciones existentes. Y eso que no he tomado en cuenta otras combinaciones para hacerlo mas preciso estadisticamente que es algo que trabajare en un futuro ya que nuestra primera conjetura fue aprovada.
Superbia Custodit Nos Stantes

05 Abril, 2021, 07:54 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Si un número entero v esta elevado al cubo, entonces \(  rem(v^3,9)\equiv c \)  (mod \( 9 \)),  donde \( c\in C \) .

Lo que decís ahí es que los únicos restos módulo \( 9 \) del cubo de un entero son \( 0,1,8 \) (en vuestro trabajo ponéis \( 9 \) en lugar de \( 0 \) pero es lo mismo); eso es elemental y de sobra conocido.

Entonces lo único que determináis es lo que ya se sabía desde el principio; lo primero que aparece en cualquier texto (sin ir más lejos el primer párrafo de la Wikipedia) que trata el problema de los tres cubos. Es que para que la ecuación tenga solución tiene que tenerla módulo \( 9 \). Se conjetura que el recíproco es cierto, es decir, que si la ecuación tiene solución módulo 9 entonces tiene solución en los enteros. Pero no está demostrado. Vosotros tampoco lo habéis demostrado. Con lo cual no hay nada nuevo en lo que hacéis.

Que el recíproco sea cierto no es obvio. Hay ecuaciones para las que no funciona. Por ejemplo \( x^3+y^3=11 \) tiene solución módulo \( 9 \), tomando \( x^3\cong 1 \), \( y^3\cong 1 \), pero no tiene soluciones los enteros.

repito es una conjetura, asi que obviamente no tiene una demostracion aun, el aporte esta almenos en mi humilde opinion es que calculisticamente en mod9 puede encontrarse multiples combinaciones para un misma solucion, ahora si quieren que lo pruebe con el numero 33 y los numeros que encontro Andrew. B. pues sera un ejemplo largo pero como se habran dado cuenta coincidira con el algoritmo, nuestra propuesta es simplemente esa, si fijas una ecuacion en mod9, la pasas por el algoritmo, obtendras las combinaciones para encontrar soluciones para X numero, si la combinacion no existe, entonces X numero no es solucion, de la misma manera que puedes probarlo en una calculadora cualquiera.

La idea cuando hay una conjetura es intentar probarla, para que pase de ser conjetura a Teorema. El "Teorema" de Fermat permaneció 5 siglos como conjetura: se conjeturaba que la ecuación \( x^n+y^n=z^n \) no tenía soluciones enteras no triviales para \( n>3 \), hasta que fue demostrado por Wiles. Y pasó de ser una conjetura a un Teorema.

es correcto y tiene sentido estadistico, es muy dificil que las condiciones se den para encontrar un numero de clase 6, como lo es el 33, por todas las combinaciones existentes. Y eso que no he tomado en cuenta otras combinaciones para hacerlo mas preciso estadisticamente que es algo que trabajare en un futuro ya que nuestra primera conjetura fue aprovada.

¿Entonces para \( x^3+y^3+z^3=1 \) ó \( x^3+y^3+z^3=2 \), cuántas soluciones se supone que habría?.

Saludos.

05 Abril, 2021, 08:21 pm
Respuesta #8

Eradicuz

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hola para responderte.

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¿Entonces para \( x^3+y^3+z^3=1 \) ó \( x^3+y^3+z^3=2 \), cuántas soluciones se supone que habría?.

Saludos.

con los datos mas recientes aproximadamente 17 combinaciones pueden dar el numero 2.
Superbia Custodit Nos Stantes

05 Abril, 2021, 08:50 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

hola para responderte.

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¿Entonces para \( x^3+y^3+z^3=1 \) ó \( x^3+y^3+z^3=2 \), cuántas soluciones se supone que habría?.

Saludos.

con los datos mas recientes aproximadamente 17 combinaciones pueden dar el numero 2.

Pues la realidad es que para el número dos hay INFINITAS tripletas de números enteros que son solución de \( x^3+y^3+z^3=2 \). Pueden obtenerse mediante la familia de polinomios:

\( x=(1+6k^3) \)
\( y=(1-6k^3) \)
\( z=(-6k^2) \)

Para cada valor de \( k \) hay una solución.

Saludos.