Autor Tema: Cómo determinar la cantidad de soluciones naturales de la siguiente ecuación?

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04 Abril, 2021, 05:24 pm
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Susi

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Hola amigos, buen día. Cómo están?

Cómo puedo determinar la cantidad de soluciones enteras de:

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\:=\:35 $$  $$\:8\ge x_1\:\ge 3\space\:\:x_2\ge 0\space\:\:x_3\ge\:0\space\:\:\:x_4\ge \:\:0\:\:\:\:x_5\ge \:\:0$$

He resuelto ejercicios similares a este con varias cotas inferiores, pero lo que me marea en esta ocasión es el $$8\ge x_1\:\ge 3\space$$

Espero que me puedan ayudar a resolver este ejercicio, gracias

04 Abril, 2021, 06:04 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola Susi, bienvenida al foro!!

Recuerda leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Cómo puedo determinar la cantidad de soluciones enteras de:

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\:=\:35 $$  $$\:8\ge x_1\:\ge 3\space\:\:x_2\ge 0\space\:\:x_3\ge\:0\space\:\:\:x_4\ge \:\:0\:\:\:\:x_5\ge \:\:0$$

He resuelto ejercicios similares a este con varias cotas inferiores, pero lo que me marea en esta ocasión es el $$8\ge x_1\:\ge 3\space$$

No puedo ayudarte con el ejercicio, pero aquí va mi suposición:

Por lo pronto por la condición \( 8\geq x_1\geq3 \) nos están acotando la variable entera, pero también nos acota la cantidad máxima de soluciones que puede tener la ecuación, en este caso \( 8-3+1=6 \) soluciones como máximo.

Esto lo pensé con un ejemplo más sencillo: \( x+y=5 \) (\( x,y \) enteros) con \( 1\leq x\leq3 \), entonces si \( x=1 \) luego \( y=4 \), si \( x=2 \) luego \( y=3 \) y si \( x=3 \) luego \( y=2 \). Y no hay más. Como máximo han habido \( 3-1+1=3 \) soluciones. Oye, hemos hecho una buena acotación, ¿no crees?

En general Si te dan una ecuación \( f(x_1,x_2,\dots,x_n)=0 \) en los enteros con \( m \) condiciones y hay al menos una variable acotada i.e. \( a\leq x_i\leq b \) para ciertos \( a,b \) enteros, luego como máximo habrán \( b-a+1 \) soluciones.

¿Demostración? Mejor esperar la confirmación de alguien que sepa. Y si alguien puede confirmar que lo anterior es válido se lo agradecería.

Saludos

P.D. Para tu comodidad, LaTeX ya detecta automáticamente cuándo debe "agregar" espacios, así que no es necesario que agregues \: todo el rato, salvo en muy contadas ocasiones. :)

04 Abril, 2021, 06:43 pm
Respuesta #2

geómetracat

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Yo lo haría de la siguiente manera. Contar el número de soluciones enteras de esa ecuación con las condiciones pedidas es equivalente a contar las maneras de poner \[ 35 \] bolas en \[ 5 \] urnas, donde en la primera urna hay entre \[ 3 \] y \[ 8 \] bolas.
Podemos entonces contar:
1) las maneras de poner \[ 35 \] bolas en \[ 5 \] urnas de manera que en la primera haya al menos \[ 3 \] bolas,
2) las maneras de poner \[ 35 \] bolas en \[ 5 \] urnas de manera que en la primera haya al menos \[ 9 \] bolas,
y 3) restar 1)-2).

Si pones \[ 3 \] bolas de las \[ 35 \] en la primera urna y las dejas fijas, el conteo en 1) es equivalente a contar las maneras de poner \[ 35-3=32 \] bolas en \[ 5 \] urnas, que es un problema estándar (combinaciones con repetición), y lo mismo con 2).
Deberían salirte, si no me he equivocado, \[ 31500 \] maneras posibles.

En general Si te dan una ecuación \( f(x_1,x_2,\dots,x_n)=0 \) en los enteros con \( m \) condiciones y hay al menos una variable acotada i.e. \( a\leq x_i\leq b \) para ciertos \( a,b \) enteros, luego como máximo habrán \( b-a+1 \) soluciones.

No es cierto. Lo es en el ejemplo que has puesto con dos variables, \[ x+y=5 \], porque una vez fijado un valor para \[ x \], \[ y \] queda totalmente determinado. Pero si tienes más variables tienes más libertad y la cota ya no es válida. Por ejemplo, si fuera \[ x+y+z=5 \] con \[ 1\leq x \leq 3 \] hay más de tres soluciones, como puedes comprobar (de hecho hay exactamente \[ 12 \] soluciones).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)