Autor Tema: Hallar todos los \(n\in\Bbb{N}\) tales que \(\varphi(n)=8\)

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04 Marzo, 2021, 04:28 pm
Respuesta #10

geómetracat

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¿Por qué si \( 8=2^3 \) necesariamente ha de ser \( b,c\in\{0,1\} \)? ¿No puede darse igual si no supiéramos que \( \varphi(n)=8=2^3 \)?
Porque si por ejemplo fuera \[ b>1 \], tendrías que \[ \varphi(n) \] es divisible por \[ \varphi(3^b)=3^{b-1}\cdot 2 \]. En particular, tendrías que \[ 3\mid \varphi(n)=8 \], contradicción. Lo mismo con el \[ 5 \].

Citar
Como \( 10=2\cdot5 \) luego \( 0\leq b,c\leq1 \) (¿por qué hay que darse cuenta que \( 10=2\cdot5 \)?, es la misma pregunta anterior).
Lo mismo de antes: si por ejemplo fuera \[ b>1 \] tendrías \[ 3\mid 10 \].

Citar
Vamos por casos:

Múltiplos de 11:
- \( \varphi(11)=10 \) es solución. Creo que te faltó analizar este caso con \( n=5 \) en tu desarrollo por más que no cumpla, ¿es posible?:
Sí, me lo dejé. Gracias, ahora lo corrijo.

Citar
¿Qué sucede con los casos \( n=2\cdot11,\;2\cdot3\cdot11 \), por qué no los analizamos?
Sí los analizamos. El primer caso está incluido en los de la forma \[ 2^a\cdot 3 \] (es el caso \[ a=1 \]), y el segundo en los de la forma \[ 2^a\cdot 3 \cdot 11 \] (de nuevo el caso \[ a=1 \]).

Citar
¿Por qué en algunos casos se les pone la condición \( a>0 \) y en otros no?
Se le pone la condición cuando analizas números divisibles por \[ 2 \], es decir, de la forma \[ 2^a\cdot m \], para poder aplicar la fórmula. Si tienes \[ a=0 \] la fórmula no funciona, por eso hay que separar casos.
En particular en el último caso basta tratar los de la forma \[ 2^a \] con \[ a>0 \]. No es necesario separar el \[ 2 \] (que es el caso particular de \[ 2^a \] con \[ a=1 \]).

Citar
Por lo tanto las únicas soluciones son \( n=11,22 \). ¿Está todo bien?
Sí, lo veo bien.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Marzo, 2021, 04:38 pm
Respuesta #11

feriva

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feriva tendré que revisar en detalle lo que haces, porque lo que me parece más mecánico es lo que plantea geómetracat


De acuerdo, manooooh, como quieras. Pero sí me gustaría saber si se me entiende (cuando tengas tiempo; si lo tienes, si no, no importa).

Spoiler

Es que con estas cosas, habiendo primos... por mucha mecánica, todo depende de cada caso particular, de que sea más fácil o menos el número.

Toma un “n” más grande al azar: 126 (tiene que ser un par, las phis son pares).

A ver lo que sale.

Valen todos los primos hasta 127 (son muchos, nunca te van a poner este problema):

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127

Ahora, restando 1 tenemos los factores

(1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126)

Buscamos entre ellos los divisores de 126 (a buscar, otra pesadez, pero como descomponer en primos, no más):

(1, 2, 6, 18, 42, 126)

Los triviales son, a partir de 126, estos: 127, y 127*2=254.

Nos quedan

(1, 2, 6, 18, 42)

Y tenemos que 42*3=126; pero 3 no está en el conjunto de los que nos quedan; ¿qué quiere decir esto?

Quiere decir que si ponemos un 3 también tiene que entrar como factor el 2, o sea, (3-1) por lo que tendríamos

42*3*2>126

Luego el 3 no puede entrar.

Vamos a verlo también con 18:

126=18*7

El 7 no está y va a pasar los mismo, porque en el producto tendrá que entrar el 6 (el 7-1, que sí está) y se pasará de 26:

18*7*6=765

Luego, tenemos el 6; y ocurre 126=6*21; como tampoco está el 21 (y es múltiplo de 3 y 7, que no entran) lo mismo, descartado.

Con el 2: 126=2*63, y 63 tampoco está, ocurre lo mismo.

Y con el 1 nos lleva a los que ya tenemos.

Sólo hay dos números cuya phi sea 126: n=127; n=254.

*(Si le dices al del vídeo que lo haga con 126, lo mismo tiene que subir 4 horas de grabación para explicar este caso particular siguiendo todas esa parafernalia, me da esa sensación...).

[cerrar]

Saludos.

04 Marzo, 2021, 07:58 pm
Respuesta #12

manooooh

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Hola

Ten en cuenta que si \[ n=p_1^{r_1}\dots p_k^{r_k} \] es la descomposición en factores primos de \[ n \], entonces \[ \varphi(n)=p_1^{r_1-1}\dots p_k^{r_k-1}(p_1-1)\dots (p_k-1) \].
Esto no es más que tu fórmula 4) reescrita.

A partir de aquí se ve rápidamente que los únicos primos posibles en la descomposición de \[ n \] son \[ 2,3,5 \] y puedes hacer un análisis de los casos, que viene a ser lo del método 2.

Ya he demostrado que si \( p \) es factor primo de la descomposición de \( n \), \( p-1\mid\varphi(n) \), pero no sé cómo demostrar que también \( p-1 \) divide a los divisores de \( \varphi(n) \) de forma sencilla. Por ejemplo \( 6\mid12 \) pero \( 6\not\mid4 \) que \( 4 \) es divisor de \( 12 \), ¿quizás me falte alguna hipótesis?

Tampoco entiendo bien la notación que empleé cuando digo que \( p-1\mid8 \): \( p-1=8\to p=9 \). Porque que \( p-1\mid8 \) significa \( 8=k(p-1) \), ¿por qué \( k \) ha de ser \( 1 \)?


Ya entendí, esto es como si pidieran hallar los \( x \) verificando \( x\mid5 \), es claro que los únicos pueden ser \( x=1,5 \). Creo que es así de sencillo.


Gracias y saludos

04 Marzo, 2021, 11:04 pm
Respuesta #13

geómetracat

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Sí, es lo que decías antes (y lo que dice feriva también). Si \[ p \mid n \], con \[ p \] primo, entonces \[ p-1 \mid \varphi(n) \]. Por tanto los únicos primos posibles en la descomposición son aquellos tales que \[ p-1 \mid \varphi(n) \]. En nuesto caso los divisores de \[ 8 \] son \[ 1,2,4,8 \], y los únicos primos posibles son \[ 2,3,5 \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Marzo, 2021, 01:46 am
Respuesta #14

manooooh

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Hola

Propongo otro ejemplo: \( \varphi(n)=6 \).

Los únicos primos que aparecen en la factorización de \( n \) son \( p-1=6,3,2,1 \) es decir \( p=7,3,2 \) luego \( n=2^a3^b7^c \). Como \( 6=2\cdot3 \) luego \( 0\leq c\leq1 \) pues si fuera \( c>1 \) tendríamos un factor \( 7 \) que no divide a \( 6 \).

Vamos por casos, para eso realicé la siguiente tablita de ayuda tratando de cubrir todas las posibilidades:

\(
\begin{array}{c|ccc|l}
&2&3&7&\\\hline
\text{¿Aparece en la}\\\text{descomposición?}&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\begin{array}{l}n=2\cdot3\cdot7\implies\varphi(n)=12\neq6\\n=2^a3^b7,\;a,b>0\implies\varphi(n)=2^{a-1}3^{b-1}2\cdot6=2^{a+1}3^b\neq6\end{array}\\\hline
&\checkmark&\checkmark&x&\begin{array}{l}n=2\cdot3\implies\varphi(n)=2\neq6\\n=2^a3^b,\;a,b>0\implies\varphi(n)=2^{a-1}3^{b-1}2=2^{a}3^{b-1}=6\implies\boxed{n=18}\end{array}\\\hline
&\checkmark&x&\checkmark&\begin{array}{l}n=2\cdot7\implies\varphi(n)=6\implies\boxed{n=14}\\n=2^a7,\;a>0\implies\varphi(n)=2^{a-1}6=2^{a}3=6\implies\boxed{n=14}\qquad\color{red}\text{¿Qué hice mal para que se repita?}\end{array}\\\hline
&\checkmark&x&x&n=2^a\implies\varphi(n)=2^{a-1}\neq6\\\hline
&x&\checkmark&\checkmark&\begin{array}{l}n=3\cdot7\implies\varphi(n)=12\neq6\\n=3^b7,\;b>0\implies\varphi(n)=3^{b-1}2\cdot6=2^23^b\neq6\end{array}\\\hline
&x&\checkmark&x&\begin{array}{l}n=3\implies\varphi(n)=2\neq6\\n=3^b,\;b>0\implies\varphi(n)=3^{b-1}2=6\implies\boxed{n=9}\end{array}\\\hline
&x&x&\checkmark&n=7\implies\varphi(n)=6\implies\boxed{n=7}\\
&x&x&x&\text{No}\\\hline
\end{array}
 \)

Luego los únicos valores son \( n=7,9,14,18 \).

¿Está bien el procedimiento? ¿Y la tabla tiene correctas las etiquetas laterales, cubre todas las posibilidades? ¿Por qué se me repitió un resultado?

Gracias y saludos

05 Marzo, 2021, 09:43 am
Respuesta #15

geómetracat

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Sí, está bien.
Lo único es que (de nuevo) no sé por qué separas los casos de exponente igual a \[ 1 \] del caso general.
En el primer caso basta con mirar \[ 2^a3^b7 \] con \[ a,b>0 \] (es decir, tu segunda fila de la comprobación para ese caso), no hace falta separar el caso \[ n=2\cdot 3\cdot 5 \], que ya queda cubierto por el caso general \[ (a=b=1) \].

El mismo comentario sirve para todos los demás casos. Basta con la segunda fila de todas las comprobaciones. Por eso se te repite el \[ 14 \], porque ya está incluído en \[ n=2^a7 \] (es el caso con \[ a=1 \]).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

05 Marzo, 2021, 11:51 am
Respuesta #16

feriva

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Buenos días, manooooh


Ah, no que había entendido otra cosa.

Spoiler

No entiendo por qué te molestas en calcular la phí aquí, por ejemplo:

\( n=2\cdot3\cdot7\implies\varphi(n)=12
  \)

Directamente \( 7>6 \) o bien, si quieres usar un razonamiento intrínseco a la naturaleza de phi (para mí el más lógico) puedes decir:

Si 7 aparece en la descomposición, necesariamente también aparece su anterior (7-1) (pero no al revés, no es un “sí y sólo sí”) entonces, como \( 7\cdot6>6
  \), no aparece.

Y este criterio sirve en general para todos los primos que intervengan, no hace falta calcular tanta phi, que en números grandes puede ser más pesado.
[cerrar]
Saludos.

05 Marzo, 2021, 09:53 pm
Respuesta #17

manooooh

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Hola

Lo único es que (de nuevo) no sé por qué separas los casos de exponente igual a \[ 1 \] del caso general.
En el primer caso basta con mirar \[ 2^a3^b7 \] con \[ a,b>0 \] (es decir, tu segunda fila de la comprobación para ese caso), no hace falta separar el caso \[ n=2\cdot 3\cdot 5 \], que ya queda cubierto por el caso general \[ (a=b=1) \].

El mismo comentario sirve para todos los demás casos. Basta con la segunda fila de todas las comprobaciones. Por eso se te repite el \[ 14 \], porque ya está incluído en \[ n=2^a7 \] (es el caso con \[ a=1 \]).

Llevas toda la razón. No me di cuenta que ya lo estaba abarcando, gracias.

Sólo me queda una duda (por ahora ;D):

Se le pone la condición cuando analizas números divisibles por \[ 2 \], es decir, de la forma \[ 2^a\cdot m \], para poder aplicar la fórmula. Si tienes \[ a=0 \] la fórmula no funciona, por eso hay que separar casos.
En particular en el último caso basta tratar los de la forma \[ 2^a \] con \[ a>0 \]. No es necesario separar el \[ 2 \] (que es el caso particular de \[ 2^a \] con \[ a=1 \]).

No acabo de ver del todo por qué hay que especificar \( a>0 \) en unos sí y en otros no. En el ejemplo último que esbocé, escribí en el caso de que \( n \) era de la forma \( 3^b \) que \( b>0 \), pero no es de la forma \( 2^a\cdot m \). También escribí \( 2^a3^b \) y supuse \( a>0 \) pero también \( b>0 \), ¿hay que suponer \[ b>0 \]?

Pero \( 2^a \) es de la forma \( 2^a\cdot m \) (\( m=1 \)) y no se le pide la condición.

¿Cómo darse cuenta entonces cuándo se pone la condición y cuándo no?

Saludos

05 Marzo, 2021, 10:43 pm
Respuesta #18

geómetracat

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Pedir que los exponentes sean positivos es simplemente pedir que aparezcan los primos que escribes en la descomposición. En realidad es una tontería, es para separar los casos como has hecho en los ejemplos.

Por ejemplo, en el caso \[ 2^a3^b \], si no pides que \[ b>0 \] tendrías que está incluido el caso \[ 2^a \] (que corresponde a \[ b=0 \]). Pero para este caso no puedes usar la fórmula aplicada a \[ 2^a3^0 \], que te daría \[ 2^{a-1}3^{-1}2 \] (que ni siquiera es un entero). Por eso hay que tratar los casos
\[ 2^a \] (con \[ a>0 \]) y \[ 2^a3^b \] (con \[ a,b>0 \]) por separado.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)