Autor Tema: Espacio proyectivo (y afín) e hiperplanos

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30 Enero, 2021, 06:24 am
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athairdos

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Hola, tengo las siguientes dudas (conceptuales o generales, digamos) sobre transformaciones proyectivas y afines:

1-Considerando un plano proyectivo \( P^{2} \), por.ejemplo, sería correcto.decir.que.una transformación afín deja.invariante a la recta del.infinito en el.sentido.de.que.aplica.dicho.subespacio-hiperplano \( H_{\inf} \) sobre sí mismo; es.decir, dado.que.define un.automorfismo.para.dicho.hiperplano (a saber, \( H_{\inf}\rightarrow{H_{\inf}} \))?

2-Dado un.plano proyectivo \( P^{2} \); una referencia en el mismo y una transformación proyectiva (ej..una matriz regular de \( 3\times3 \)): luego, es correcto decir que el.transformado del.hiperplano impropio \( H' \), expresado en términos.de la.referencia inicial tendrá como ecuación una ecuación distinta a las de la forma usual: \( z=0 \), ó \( x=0 \), por ejemplo?

gracias

30 Enero, 2021, 06:19 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

1-Considerando un plano proyectivo \( P^{2} \), por.ejemplo, sería correcto.decir.que.una transformación afín deja.invariante a la recta del.infinito en el.sentido.de.que.aplica.dicho.subespacio-hiperplano \( H_{\inf} \) sobre sí mismo; es.decir, dado.que.define un.automorfismo.para.dicho.hiperplano (a saber, \( H_{\inf}\rightarrow{H_{\inf}} \))?

Si, eso es correcto.

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2-Dado un.plano proyectivo \( P^{2} \); una referencia en el mismo y una transformación proyectiva (ej..una matriz regular de \( 3\times3 \)): luego, es correcto decir que el.transformado del.hiperplano impropio \( H' \), expresado en términos.de la.referencia inicial tendrá como ecuación una ecuación distinta a las de la forma usual: \( z=0 \), ó \( x=0 \), por ejemplo?

No entiendo muy bien la pregunta. El transformado del hiperplano impropio puede ser cualquier hiperplano; depende de la transformación proyectiva. Por tanto puede tener cualquier ecuación. Y eso no tiene nada que ver con la referencia.

Saludos.

31 Enero, 2021, 04:44 am
Respuesta #2

athairdos

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¡Gracias! Creo que tal vez mi duda se pueda resolver con la siguiente pregunta (si es que, como pienso ahora, aquella se origina en confundir, en el sentido de dar por iguales o equivalentes, una base vectorial-conjunto l.i de vectores y vectores de coordenadas en esa base, por un lado, y una referencia.proyectiva; en el sentido que la siguiente pregunta tratará de esclarecer):

En el proceso de límite en el que la división por una de las coordenadas en un espacio proyectivo, lleva a la anulación de la misma (o de una variable vectorial, creo que se podría decir) cuando el denominador tiende a \( \infty \) (arrojando un hiperplano límite) digamos, en ese proceso corresponde escribir el límite como (ó en términos de) un vector (de coordenadas) tal como: \( (x, y, 0) \); ó bien en términos de un punto; es decir, en la forma \( [x: y: 0] \)?

Ó dicho de otra forma (más básica todavía): ¿el límite de aquel proceso se da en términos de vectores ordinarios ó más bien en términos de elementos del espacio cociente?

No sé si se entenderá el planteo...

Saludos