Autor Tema: Sucesiones curiosas de números naturales

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23 Septiembre, 2020, 03:17 pm
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Pie

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Buenas. Hace un tiempo se me ocurrió una forma de generar sucesiones de números naturales un tanto curiosas. La idea es partir de dos funciones cuyos dominios e imágenes sean sólo los números naturales, y con la condición de que para un mismo valor de n > 1, una sea siempre mayor a la otra. Por ejemplo: \(  f(n) = n \) para la primera función y \( g(n) = n^2 \) para la segunda.

A partir de aquí, la idea es que si alguno de los digitos de g(n) coincide con el último digito de f(n) entonces ese n se descarta de la sucesión, y si ninguno coincide pasa a formar parte (un poco parecido a los números primos y compuestos, salvando las distancias XD).

Por ejemplo la sucesión que sale usando las dos funciones anteriores es:

2, 3, 4, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 24, 29, 33, 34, 37, 38, 39, 42, 43, 44, 47, 48, 49, 53...

Como se supone que cuanto mayor sea un número, más probable es que contenga x dígito, supongo que se puede decir que todas las sucesiones de este tipo se van volviendo cada vez menos densas en números (al menos con funciones no demasiado extrañas XD)

Y nada, que lo dejo sólo como una curiosidad, o por si alguien quiere probar con otras funciones mas raras o animarse a encontrar algunas propiedades para este tipo de sucesiones (a mi a parte de lo anterior no se me ocurre nada más, por el momento jeje)

Supongo que también se podría probar con mayor coincidencia de dígitos (no sólo uno) o haciendo que sea la primera función la que crezca más rápido, etc.. Pero bueno, ya me parecía liar demasiado la cosa (de hecho, creo que ya es bastante liante asi, ya que se pueden construir tantas sucesiones de este tipo como uno quiera, sólo cambiando alguna de las funciones).

Si a alguien se le ocurren más sucesiones curiosas o formas de obtenerlas bienvenido sea también. :)

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

09 Febrero, 2021, 02:00 pm
Respuesta #1

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Buenas. Sigo haciendo experimentos con sucesiones "raritas". En este caso la idea es usar una función seno (o coseno..) y multiplicarla por una función creciente, de modo que sólo algunos naturales cumplan cierta condición. La idea en general sería que si \( n \) cumple:

\( |f(n) \cdot{sin(n)}| < k \)

Entonces pasa a formar parte de la sucesión.

Lo curioso es que parece que es posible conseguir una densidad de números (que cumplan la condición) bastante similar a la de los números primos, jugando con la función \(  f(n) \) y con \( k \).

Con \(  f(n) = \displaystyle\frac{2 ln(n)}{\pi} \) y \( k = 1 \)

Por ejemplo, el número de naturales menores a \( n \) que cumplen la condición parece que es bastante similar al número de primos menores a \( n \). De hecho el cociente entre ambos números parece que se aproxima a \( 1 \).

Ignoro hasta qué punto esto es así (sólo comprobé hasta \( n \leq{10^7} \), así que igual luego ya no pasa :laugh:), o si de hecho podría haber aproximaciones mejores, o relacionarse de algún modo con el teorema de números primos, etc..

Así que dejo este batiburrillo por aquí por si alguien quiere aportar algo más.. o se le ocurre alguna forma de demostrar o refutar algo de lo que dije (que ni idea en realidad ;D).

Saludos.
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09 Febrero, 2021, 02:41 pm
Respuesta #2

Carlos Ivorra

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El año pasado murió de covid-19 el matemático John Conway. Hacía tiempo que había planteado una serie de problemas por los que ofrecía 1.000 dólares a quien los resolviera. Uno de ellos era una conjetura relacionada con ciertas sucesiones de números naturales:

Toma un número cualquiera (mayor que 1), por ejemplo \( n_0=18 \).

Desconponlo en factores primos: \( n_0=2\cdot 3^2 \) (con los primos ordenados de menor a mayor y omitiendo los exponentes iguales a 1).

Quita los productos y baja los exponentes, para obtener \( n_1= 232 \).

Repetimos el proceso: \( n_1= 2^3\cdot 29 \), luego \( n_2=2329 \).

Otra vez:  \( n_2=17\cdot 137 \), luego \( n_3= 17\,137 \)

Resulta que \( n_3 \) es primo. Por lo tanto, si repetimos el proceso, resulta \( n_4 = n_3 \), y la sucesión se estabiliza. Hemos obtenido:

\( 18, \quad 232,\quad 2329, \quad 17\,137,\quad 17\,137,\quad 17\,137,\quad\ldots \)

Conway conjeturó que, partas del número que partas, la sucesión correspondiente termina estabilizándose en un primo. Por ejemplo:

\( 100,\quad 2\,252,\qquad 22\,563,\qquad 3\,223\,109,\quad 3\,223\,109,\quad 3\,223\,109,\quad \ldots \)

La conjetura está resuelta, pero si alguien quiere jugar con estas sucesiones... todas suyas.

09 Febrero, 2021, 03:10 pm
Respuesta #3

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Muy interesante Carlos, no conocía esas  sucesiones ni esa conjetura, aunque intuitivamente parece que tiene sentido que se cumpla siempre.

Si alguien quiere aportar otras sucesiones curiosas que no se corte (igual me desvié un poco del tema inicial del hilo con mi segundo mensaje, casi que tendría que haberlo puesto en plan "off-topic", al menos la parte final  :laugh:).

Saludos.
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10 Febrero, 2021, 08:13 pm
Respuesta #4

Masacroso

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La conjetura de Collatz es relevante al hilo:

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Collatz

También añadiría cualquier generador de números pseudo-aleatorios, por ejemplo el Mersenne Twister (aunque su implementación no es especialmente sencilla):

https://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_Twister