Autor Tema: Calcular total de recubrimientos de un rectángulo \(2\times n\) con baldosas

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07 Julio, 2020, 09:50 am
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manooooh

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Hola!

Estaba viendo el problema 57 de este enlace:

https://www.unirioja.es/talleres/creatividad_matematica/SeminarioBachillerato/solhoja8_2017.pdf

y me surgió la duda de cómo hallar \( a_3 \).

El problema es sobre relaciones de recurrencia, y dice:

Se quiere recubrir un rectángulo de tamaño \( 2\times n \) con baldosas de tamaños \( 2\times1 \) y \( 2\times2 \). Encuentra una relación de recurrencia para calcular \( a_n \), el número total de recubrimientos diferentes que pueden hacerse.



Pude entender que \( a_1=1 \) y \( a_2=3 \), pero no entiendo por qué \( a_3=5 \).

Si el rectángulo es de \( 2\times 3 \), yo veo que sólo existen 3 formas de poner las baldosas:

- \( 3 \) baldosas \( 2\times 1 \) en horizontal.
- \( 3 \) baldosas \( 2\times 1 \), \( 1 \) horizontal y \( 2 \) vertical.
- \( 1 \) baldosa \( 2\times2 \) y \( 1 \) baldosa \( 2\times1 \) horizontal.

¿Alguien puede dibujar las situaciones restantes, por favor?

Gracias!!
Saludos

07 Julio, 2020, 09:55 am
Respuesta #1

sugata

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En el 2º y tercer caso, cambia horizontales por verticales.
El mismo rectángulo puesto de pie.

07 Julio, 2020, 10:02 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola sugata!! Espero que estés bien.

En el 2º y tercer caso, cambia horizontales por verticales.
El mismo rectángulo puesto de pie.

Ahhh... ¿o sea que sería así?:


Yo pensé que la (1) y la (5) contaban como uno, lo mismo entre la (3) y (4). ¿No es que lo que importa es si las baldosas están o no horizontales o verticales? ¿Es otra combinación si están por encima o por debajo de otras?

Gracias y saludos

07 Julio, 2020, 10:36 am
Respuesta #3

sugata

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¿El 3 y 4 son exactamente el mismo recubrimiento?
Numera las baldosas iguales con el mismo número. Observas en seguida que son distintas.

07 Julio, 2020, 11:19 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

¿El 3 y 4 son exactamente el mismo recubrimiento?
Numera las baldosas iguales con el mismo número. Observas en seguida que son distintas.

No entiendo bien cómo me dices de numerarlas. Disculpa :(

En la (3) tenemos las 2 verticales debajo, y la horizontal arriba. En la (4) están las 2 verticales arriba y la horizontal abajo. Es como si a la (3) la hubiese girado 180º grados, resulta en la (4). ¿Por qué las consideramos como distintas?

Saludos

08 Julio, 2020, 12:15 am
Respuesta #5

geómetracat

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Tú mismo dices que si a la (3) la giras 180° obtienes la (4). Luego la (3) es distinta de la (4), ya que si fuera la misma no tendrías que hacerle nada. Es decir, que cuando hablan de recubrimientos distintos no quiere decir que dos recubrimientos son iguales si existe alguna simetría que lleva uno en el otro, quiere decir que son distintos si el dibujo es distinto. O de otra manera, no es lo mismo poner una baldosa \( 2 \times 1 \) a la izquierda y una \( 2 \times 2 \) a la derecha que una baldosa \( 2 \times 2 \) a la izquierda y una \( 2 \times 1 \) a la derecha.

Aunque hubiera alguna duda sobre esto y pudieras sospechar que cuando dice distintas quisiera decir distintas salvo simetría, de la solución que dan es bien claro que considera diferentes a configuraciones distintas de las baldosas, aunque puedes transformar una en la otra con una simetría.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Julio, 2020, 12:21 am
Respuesta #6

sugata

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Hola

¿El 3 y 4 son exactamente el mismo recubrimiento?
Numera las baldosas iguales con el mismo número. Observas en seguida que son distintas.

No entiendo bien cómo me dices de numerarlas. Disculpa :(

En la (3) tenemos las 2 verticales debajo, y la horizontal arriba. En la (4) están las 2 verticales arriba y la horizontal abajo. Es como si a la (3) la hubiese girado 180º grados, resulta en la (4). ¿Por qué las consideramos como distintas?

Saludos

Si llamamos 1 a las baldosas 2x1, y 2 a las 2x2, en tus dibujos sería.
El primero
\(  
1\\2
 \)

Y el 5 sería
\(  2\\1 \)
Al no estar colocados en el mismo sitio, como dice geómetracat, no son iguales.

P.D. ¿Dónde está el botón rápido de Látex?

08 Julio, 2020, 12:24 am
Respuesta #7

geómetracat

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P.D. ¿Dónde está el botón rápido de Látex?

Es el botón que tiene una \( \Sigma \) (de más a la izquierda).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Julio, 2020, 12:27 am
Respuesta #8

sugata

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P.D. ¿Dónde está el botón rápido de Látex?

Es el botón que tiene una \( \Sigma \) (de más a la izquierda).


Gracias. Esto habrá cambiado hace poco, porque lo último que escribí seguía llamándose "Tex"

08 Julio, 2020, 01:32 am
Respuesta #9

manooooh

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Hola a ambos

Muchas gracias, pensé que los giros era una cuestión estética, pero sí que es cierto que mirar una figura rotada 0º o 180º, son figuras distintas. Es bueno saberlo de ustedes ;)

Saludos