Rincón Matemático

Matemática => Geometría y Topología => Mensaje iniciado por: ToniGim en 17 Abril, 2021, 06:00 pm

Título: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 17 Abril, 2021, 06:00 pm
Buenas tardes: Planteo el siguiente problema
Dada una elipse de semiejes a y b, sea D la distancia desde el centro de la elipse (punto O) al centro del circulo interno (de radio R) situado en el eje de las x (semieje a) y que es tangente a la elipse.
Hallar R en función de D, a y b.
Este problema lo he sacado de la siguiente web (en francés)
https://www2.mat.ulaval.ca/liens-utiles/les-sangaku-des-tablettes-a-linternet/9658-sangaku-pour-le-web/4-theorie-des-ellipses/cercle-vs-ellipse/
(hay continuación del problema)
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 17 Abril, 2021, 06:05 pm
Como la página web no se ven los dibujos, la he subido a la siguiente dirección
https://mega.nz/file/p9gG0Roa#VrgaSeBA1M4tBcjMPOFEqBcT1QiStPWWDTczxdDYqtY
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 17 Abril, 2021, 06:28 pm
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116515.0;attach=23075)
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: Richard R Richard en 17 Abril, 2021, 08:33 pm



La ecuación de la elipse

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

la ecuación del círculo

\( (x-D)^2+y^2=R^2 \)

si despejamos y  de la primer ecuación y reemplazamos en la segunda y despejamos

\( R=\sqrt{(x-D)^2+b^2\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)} \)                       (3)

pero esta ecuación no garantiza la tangencia en el punto \( (x,y) \), es decir x no puede ser cualquier valor sino que las tangentes en el punto  \( (x,y) \), tanto de la elipse como la de circulo deben ser iguales

\( \dfrac{dy(x)_{elipse}}{dx}=\dfrac{dy(x)_{circulo}}{dx} \)


\( \dfrac{-x}{\sqrt{R^2-(x-D)^2}}=\dfrac{b}{a^2}\dfrac{-x}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}} \)

esta es la tercer relacion necesaria para eliminar 2 de las tres  incógnitas x,y  de las tres ecuaciones, se resuelve una cuadrática para sacar el valor de x como función de a,b, D y R ,  reemplazando  ese valor en la tercera de las ecuaciones que presente te queda  R solamente  en función de a,b,y D




a mi me da  \( x=\dfrac{-2b^2D+\sqrt{4b^4D^2-4(a^2-b^2)^[b^2(R^2-D^2)-a^4]}}{2(a^2-b^2)} \)


 por como tomamos el sistema de referencia solo tomo la solución  con signo positivo


luego queda reemplazar en la ecuación 3  , simplificar y..... no se si se llega a algo tan elegante como las imágenes lo plantean... Seguro en algún lado habrá algún gazapo, creo que no esta en la idea general.







Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 17 Abril, 2021, 08:48 pm
Gracias Richard, me pongo a estudiar tu solución ;D :aplauso:
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 17 Abril, 2021, 08:52 pm
Muchas gracias Richard   ;D
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 17 Abril, 2021, 09:01 pm
Hola otra vez Richard
La D no es una incógnita. Se trata de crear en Geogebra un deslizador llamado D y ver cómo varía R, x_0 , y_0  (punto de tangencia).
Se puede particularizar para el caso en que D=R (la circunferencia será tangente a la elipse, a  Ox-Oy.
Gracias por tu tiempo
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: Richard R Richard en 17 Abril, 2021, 10:16 pm


Hola otra vez Richard
La D no es una incógnita.
Claro D es un dato ...


Se trata de crear en Geogebra un deslizador llamado D
ni idea de como ayudarte en esa tarea


y ver cómo varía R, x_0 , y_0  (punto de tangencia).

esas si son incógnitas  , son tres , por eso necesitas 3 ecuaciones


Se puede particularizar para el caso en que D=R (la circunferencia será tangente a la elipse, a  Ox-Oy.


Bueno Alli el sistema se simplifica un poco, algebraicamente, , pero no te evitas tener que resolver un sistema de ecuaciones de 3x3 porque ahora si D pasa a ser incógnita, ya que la igualas D a R y R  sigue siendo incognita.
Si fijas el valor de R a D, igualmente hay infinita combinacion de puntos de tangencia , un juego para cada valor de semiejes de elipse

la segunda ecuacion que postee

pasa a ser

\( x^2+y^2=2R \)

que es tangente a

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

en dos puntos.

pero  dependiendo de R puedes o bien no tocar la elipse o cruzarla en 4 puntos, así  que para establecer que se corte en solo dos puntos debes no solo igualar las ecuaciones \( y(x_o)_{elipse}=y(x_o)_{circulo} \) ,sino que a la vez debes hacer que la tangente de ambas curvas en el punto de corte sean iguales.


\( \dfrac{\partial\,y(x_o)_{elipse}}{\partial x}=\dfrac{\partial\,y(x_o)_{circulo}}{\partial x} \)
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: Abdulai en 17 Abril, 2021, 11:43 pm
Si no me he equivocado...

\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 \)
\( (x-D)^2+y^2 = R^2 \)

Reemplazando \( y \) en la 2da ecuación
\( x^2 \dfrac{b^2 - a^2}{a^2} - 2 D x - (b^2+D^2-R^2)=0 \)

Como el círculo debe ser tangente, la ec. debe tener solución única \( \therefore \) el discriminante de la cuadrática debe ser 0
\( D^2 + (b^2 + D^2 - R^2)\frac{b^2 - a^2}{a^2}= 0 \;\;\longrightarrow\;\; R= b \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{D^2}{b^2 - a^2}} \)

Reemplazando en la cuadrática, la coordenada x de tangencia resulta:  \(  x = \dfrac{a^2D}{a^2 - b^2} \) y la \( y \) : \( y=b\dfrac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}   \)
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: hméndez en 17 Abril, 2021, 11:47 pm
Gracias Richard, me pongo a estudiar tu solución ;D :aplauso:

Se puede llegar a la solución de la siguiente manera:

De la ecuación de la elipse y de la circunferencia

\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1 \)

\( (x-D)^2+y^2=R^2 \)

De estas es fácil eliminar \( y^2 \) y nos queda después de ordenar:

\( (1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2})x^2-2Dx+b^2+D^2-R^2=0 \)


que es una ecuación polinómica de 2do. grado en \( x \) cuyas 2 soluciones en general
representan las abscisas de los cuatro puntos de intersección entre la circunferencia y la elipse.
Dos ubicados por encima del eje X y otros dos simétricamente ubicados por debajo.

Si de esta ecuación imponemos que su determinante respecto de \( x \) sea igual a  0,
sus soluciones se reducirían a una (1). Esto corresponderá a la abscisa de los dos puntos de
tangencia entre las dos cónicas. Uno por encima y otro simétricamente ubicado por debajo del
eje X.

Anulando el discriminante:

\( 4D^2-4(1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2})(b^2+D^2-R^2)=0 \)



de aquí es muy fácil obtener la relación dada en la imagen que enviaste o despejar \( R \) que es lo pedido.

\( R=b\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{D^2}{a^2-b^2}} \)

Saludos
Uyyy Se me adelantó Abdulai
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: Richard R Richard en 18 Abril, 2021, 12:41 pm

Hola,  gracias por la lección.

Los que saben , saben...
Los que no... Para su entusiasmo, pico y pala... :'( .
No se me hubiese ocurrido nunca ir por la nulidad del discriminante del cruce de curvas, mentalmente "encontraba" en mi tercer ecuación, soluciones de x positivas y negativas dependiendo de que si D era también positivo o negativo, por lo que debía eliminar la del otro lado de la elipse que era de signo opuesto.
Igualmente por lo que dicen no hubiese llegado al resultado correcto,, el matete algebraico era importante, y cualquier gazapo arruina media hora de lápiz y papel, y por eso no continúe.

Gracias de nuevo.
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 18 Abril, 2021, 12:49 pm
Muchas gracias a Abdulai y hméndez, las respuestas coinciden con las dadas en la página
https://www2.mat.ulaval.ca/liens-utiles/les-sangaku-des-tablettes-a-linternet/9658-sangaku-pour-le-web/4-theorie-des-ellipses/cercle-vs-ellipse/
Ahora quiero hacer algo parecido pero con el tramo de elipse que está por encima del eje X. Esta parte no me sale, he hecho algunas cosas pero estoy atascado.
En cuanto pueda subiré el enunciado y algún dibujo.
Saludos 
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 18 Abril, 2021, 12:53 pm
Gracias Richard por tu tiempo. Siempre he pensado que de los errores se aprende más que de los aciertos siempre y cuando uno se dedique a analizar los fallos.
Saludos
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 18 Abril, 2021, 01:28 pm
Al pasar este ejercicio a Geogebra se planta un problema con el límite inicial y final del deslizador D.
Si partimos del centro de la elipse el límite inferior es 0 ¿y el superior?
No puede ser D=a . Probando con distinto valores del límite superior salen cosas muy raras. ¿Alguna sugerencia?
Saludos
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: martiniano en 18 Abril, 2021, 01:40 pm
Hola.

Está mal
Es que, si el enunciado no especifica que el centro de la circunferencia esté entre el de la elipse y el foco falta contestar que para \[ D^2>a^2-b^2 \] la respuesta es \[ R=a-D \].

Creo que puede ser interesante una solución no analítica. Si la encuentro la subo.

Un saludo.
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: Abdulai en 18 Abril, 2021, 03:39 pm
Al pasar este ejercicio a Geogebra se planta un problema con el límite inicial y final del deslizador D.
Si partimos del centro de la elipse el límite inferior es 0 ¿y el superior?
No puede ser D=a . Probando con distinto valores del límite superior salen cosas muy raras. ¿Alguna sugerencia?
Saludos

La condición límite es cuando \( R= b\displaystyle\sqrt{1-\dfrac{D^2}{a^2-b^2}} = a-D \;\;\longrightarrow\;\; D=\dfrac{a^2-b^2}{a} \) , esto es antes del foco.  Luego cambia la ecuación de \( R \) pues el punto de tangencia es siempre \( a \)

Es decir:
\( R= b\displaystyle\sqrt{1-\dfrac{D^2}{a^2-b^2}} \quad,\quad 0\le D \le \dfrac{a^2-b^2}{a} \)
\( R = a-D\quad,\quad  \dfrac{a^2-b^2}{a} < D \le a  \)           
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: Abdulai en 18 Abril, 2021, 04:01 pm
...
Ahora quiero hacer algo parecido pero con el tramo de elipse que está por encima del eje X. Esta parte no me sale, he hecho algunas cosas pero estoy atascado.

Si es el círculo tangente a la elipse y sus ejes, eso te lleva a una ecuación de 4to grado.  Dudo que pueda resultar una expresión "manejable", pero quién sabe...
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ancape en 18 Abril, 2021, 05:44 pm
Hola.

Es que, si el enunciado no especifica que el centro de la circunferencia esté entre el de la elipse y el foco falta contestar que para \[ D^2>a^2-b^2 \] la respuesta es \[ R=a-D \].

Creo que puede ser interesante una solución no analítica. Si la encuentro la subo.

Un saludo.

Aunque en otros mensajes dije que abandonaba el foro, no he podido resistir pensar y compartir la solución de un problema tan interesante.
Adjunto hoja de Geogebra que creo calcula R sin necesidad de recurrir a cálculos analíticos.

Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ancape en 18 Abril, 2021, 05:59 pm
Al pasar este ejercicio a Geogebra se planta un problema con el límite inicial y final del deslizador D.
Si partimos del centro de la elipse el límite inferior es 0 ¿y el superior?
No puede ser D=a . Probando con distinto valores del límite superior salen cosas muy raras. ¿Alguna sugerencia?
Saludos

En la hoja de Geogebra que publiqué antes, si se toma el círculo auxiliar con radio b, obtenemos que el límite superior de D es tal que la circunferencia e no da puntos intersección válidos con la elipse. Esto permite establecer dicho límite.
Adjunto hoja de Geogebra con esta modificación.
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 18 Abril, 2021, 06:12 pm
¿Se podría construir un semicírculo C_1 y dentro otro círculo C_2 tangente al inicial y al eje x (con la idea de moverlo) y luego una transformación T que convirtiera C_1 en una elipse?
En alguna web encontré esta idea pero la tengo que buscar
Saludos
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 18 Abril, 2021, 07:08 pm
Gracias ancape por tu tiempo. Es un lujo compartir problemas y respuestas.
Te propongo el siguiente problema:
Dibujar con geogebra el movimiento de la circunferencia interior según el eje X y que vaya de un "vértice" al otro (con las limitaciones que has dado R=a−D )
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: martiniano en 18 Abril, 2021, 07:35 pm
Hola.

La condición límite es cuando \( R= b\displaystyle\sqrt{1-\dfrac{D^2}{a^2-b^2}} = a-D \;\;\longrightarrow\;\; D=\dfrac{a^2-b^2}{a} \) , esto es antes del foco.  Luego cambia la ecuación de \( R \) pues el punto de tangencia es siempre \( a \)

Yo también quise dar a entender eso justo antes de que lo hicieras tú, pero me temo que es erróneo, o al menos hay algo que no me acaba de cuadrar. Fíjate que la fórmula con la que calculamos el radio da cero cuando el centro de la circunferencia se sitúa en el foco. Eso no tiene mucho sentido. En realidad, el punto de tangencia está en el vértice de la elipse a partir del centro del círculo osculador, que en general estará antes del foco, concretamente a una distancia del centro igual a \( a-\displaystyle\frac{b^2}{a} \), si no me he equivocado.

Aquí adjunto un Geogebra en el que he representado el círculo osculador en el vértice. Moviendo el punto \[ I \] se puede ver cómo varía el círculo interior a la elipse y tangente en \[ I \].


Un saludo.
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: Abdulai en 18 Abril, 2021, 11:50 pm
...
Yo también quise dar a entender eso justo antes de que lo hicieras tú, pero me temo que es erróneo, o al menos hay algo que no me acaba de cuadrar. Fíjate que la fórmula con la que calculamos el radio da cero cuando el centro de la circunferencia se sitúa en el foco. Eso no tiene mucho sentido. En realidad, el punto de tangencia está en el vértice de la elipse a partir del centro del círculo osculador, que en general estará antes del foco, concretamente a una distancia del centro igual a \( a-\displaystyle\frac{b^2}{a} \), si no me he equivocado.
...
No te entiendo, \( a-\displaystyle\frac{b^2}{a} \) es lo mismo que me dió a mi.
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ancape en 19 Abril, 2021, 12:47 am
Gracias ancape por tu tiempo. Es un lujo compartir problemas y respuestas.
Te propongo el siguiente problema:
Dibujar con geogebra el movimiento de la circunferencia interior según el eje X y que vaya de un "vértice" al otro (con las limitaciones que has dado R=a−D )

La construcción es mas sencilla, pues basta elegir un punto cualquiera de la elipse, trazar la normal en él y hacer que se mueva.
Te adjunto hoja de Geogebra.

Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: martiniano en 19 Abril, 2021, 07:14 am
Hola.

No te entiendo, \( a-\displaystyle\frac{b^2}{a} \) es lo mismo que me dió a mi.

Tienes toda la razón, Abdulai. Además tu mensaje es claro como el agua. Soy yo quien se ha despistado. Me hice un lío con esto de que es en el foco donde la expresión del principio deja de ser real.

Un saludo.
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 19 Abril, 2021, 11:11 am
El radio de curvatura del vértice (a,0) vale b^2/a, por eso el último punto de desplazamiento es a- b^2/a
Título: Re: Elipse y círculo interno
Publicado por: ToniGim en 19 Abril, 2021, 11:41 am
Gracias ancape por tu construcción de geogebra y, por favor, no te vayas del foro; tengo unos cuantos problemas sobre elipses que te pueden interesar
saludos