Creo que mucha gente no acaba de tener una idea clara y apropiada de lo que es una teoría de conjuntos porque sólo conoce un ejemplo (o dos muy parecidos).
Bueno, a mí me interesa, pero no sé si al punto de hacerte gastar demasiado tiempo escribiendo.
En cuanto a la elección entre NFA y NFU, pienso que puede ser confuso, si es que en la literatura corriente se conoce como NFU.
El día que los hispanoparlantes dominemos el mundo nos podremos dar el lujo de elegir las siglas castellanizadas.
CitarCreo que mucha gente no acaba de tener una idea clara y apropiada de lo que es una teoría de conjuntos porque sólo conoce un ejemplo (o dos muy parecidos).
Comparto plenamente esta reflexión, y como es una idea que no me cuesta entender en absoluto, es por eso que no necesito el "ejemplo educativo" de NFU. Perfectamente puedo imaginarme otras teorías en las que los axiomas no sean tal cual los de ZFC.
No veo nada "sagrado" en un axioma u otro.
Por ejemplo, hay mucha gente que ve como "sagrado" el Axioma de Elección.
Pienso que un tratamiento serio y profundo de la teoría de conjuntos tiene que dejar de lado el Axioma de Elección.
Eso no significa que haya que descartar la matemática actual, que se apoya enormemente en dicho Axioma.
De lo que se trata es, en realidad, de considerar a la matemática actual junto con el Axioma de Elección como "pequeñísimas subteorías" de teorías aún mayores y más generales.
De NFU lo que me interesa es entender cómo funciona el tratamiento de los números cardinales y ordinales, y cómo se comportan respecto a las diversas jerarquías de conjuntos que allí hay.
Y también me intriga esto que has dicho de que es mejor ZFC, y que NFU no aporta nada.
¿Por qué considerás que la teoría NFU es limitada o inadecuada?
¿Qué se puede decir en ZFC o NBG que no se pueda decir o hacer en NFU?
¿No hay acaso alguna gran "clase" en NFU que sirva de simulación o modelo de ZFC?
todos los objetos de los que habla el lenguaje de NFA son objetos
Diremos que un objeto es un átomo si no es un conjunto.
¿Cuál es esa condición sobre las propiedades posibles que restringe ligeramente el axioma de Frege para condenar el conjunto de Russell y salvar a la vez el universo? De eso nos ocuparemos en el mensaje siguiente.
Citartodos los objetos de los que habla el lenguaje de NFA son objetos
La 1er palabra "objetos" es informal, mientras que la 2da palabra objetos es formal.
Y aunque la 2da aparece en cursiva lo cual la distingue de la 1era,
no deja de parecerme un abuso de lenguaje.
Me dejaría más conforme una expresión así: "todos los entes de los que habla el lenguaje de NFA son objetos".
CitarDiremos que un objeto es un átomo si no es un conjunto.
Esta definición me "asusta" porque en teorías de conjuntos más estándar como la de Morse-Kelley (MK), lo que no es un conjunto es una clase propia.
Un átomo en NFU pertenece a otros "objetos" (conjuntos) y ningún objeto pertenece a ellos,
mientras que los "no-conjuntos" de MK (clases propias) no pertenecen a conjunto alguno, sino que hay conjuntos que pertenecen a ellas.
En este mismo tema comparo las propiedades que caracterizan a los conjuntos en ambas teorias:
En MK: \( \forall xy(x\in y\rightarrow \text{cto}\,x) \)
En NFU: \( \forall xy(x\in y\rightarrow \text{cto}\,y) \)
No entiendo el axioma de que todos los objetos son conjuntos.
En realidad no entiendo la notación: \( \forall x\ \text{cto}\,X \).
¿No debieran ser ambas "x" minúsculas?
O sea, ¿no son el mismo "x"?
\( \forall x\ \text{cto}\,x \)
Tampoco le veo sentido a hablar de átomos y conjuntos, si es que no va a haber átomos.
Pero comprendo que el Axioma NA no es obligatorio, sino un axioma que puede agregarse luego, quién sabe para qué fines (¿preguntarse el parecido con ZFC?).
En general la exposición es muy clara, así que estoy contento pues creo haber entendido de qué se trata el asunto.
En cuanto a la noción de "fórmula estratificada", tengo una duda, aunque no he reflexionado mucho sobre ella, y además es posible que no entiendo qué hacer.
En ZFC hay conjuntos (típicamente los ordinales) en que es posible decir cosas como:
\( (x\in y)\wedge (x\subset y) \)
¿Esto no atenta contra las reglas de estratificación?
O sea, si los elementos de un conjunto tienen varios grados de pertenencia e inclusión entre sí, ¿es posible definirlos adecuadamente en NFU (NFA)?
Bueno, primero, decir que "todo un honor" haber contribuido a liar a Ivorra en NFU (o NFA).
Lo de rebautizar la teoría como NFA me parece prudente, simplemente por ser conciso: estamos prescindiendo del axioma de átomos. La apuesta de Ivorra es bastante fuerte, en principio pensaba que el axioma era eliminado de la teoría porque era demostrable a partir de los otros 3. Al releer los post me he dado cuenta de que no es eso lo que quiere decir. Lo destierra simplemente porque considera que los teoremas utiles se pueden deducir sin el.
En cualquier caso, tampoco hay nada que discutir: Ivorra nos habla de una teoría que es NFA, da explicitamente los axiomas, y desde luego, es una teoría que es más debil que ZFC y (quizás) más debil tambien que NFU.
Una puntualización (no necesariamente una corrección) a raiz de un comentario de Argentinator:
El axioma de estratificación dice que las formulas estratificadas necesariamente definen conjuntos, pero eso no implica que algunos objetos sólo definibles mediante formulas no estratificadas no puedan ser conjuntos. No es demasiado claro Holmes en su libro, y es aquí donde mi puntualización ya se transforma en una duda: Cuando se refiere a los ordinales de Von Neumann Holmes afirma que podemos considerar que existen o que no existen. Creo que lo que trata de decir (evitandose usar la palabra "modelo") es que NFU tiene modelos con ordinales de Von Neumann, y otros sin ellos;y que por tanto es conveniente definir los ordinales de otra forma, que es la que comenta Ivorra, para asegurarnos que existen en la teoría (o sea, que existen en todos los modelos de la teoría). Lo que pasa es que esto no es exactamente así: es trivial que el ordinal 0 (el conjunto vacio) ha de existir en todos los modelos de NFU. Me aventuraría a decir que los ordinales finitos también existen en todos los modelos de NFU. Pero de ser así ya me pierdo totalmente y no tengo nada claro que es eso de que "pueden existir pero también pueden no existir" en NFU.
Hola,
Solo quiero felicitarte por el trabajo realizado y animarte a seguir, ya que a mí me interesa bastante el tema y lo voy a seguir con atención. Si ya te animaras a hacer una exposición no solo de la teoría de conjuntos en sí, sino de aspectos de la teoría de modelos de NFU (o NFA), sería genial.
Saludos
¿Qué es NFA? Es una teoría de conjuntos. Su historia se remonta hasta 1937, cuando Quine publicó su libro "New Foundations for Mathematical Logic", en el que presentaba una teoría de conjuntos (hoy conocida como NF, por "New Foundations"
en 1969, cuando Jensen presentó una corrección de NF [...]
su nombre en inglés, NFU, viene de Urelement que es el nombre que dan a los átomos [...]
Axioma de los átomos: \( \forall xy(x\in y\rightarrow \text{cto}\,y) \)
En palabras: Si un objeto tiene elementos, entonces es un conjunto o, equivalentemente, los átomos son objetos sin elementos.
A decir verdad, no vamos a tomar el axioma de los átomos como axioma de NFA por una razón muy simple: aunque lo hiciéramos, jamás tendríamos ocasión de usarlo.
En palabras: Dos pares ordenados son iguales si y sólo si tienen la misma primera componente y la misma segunda componente.
De este modo, por el mero hecho de introducir el nuevo signo, estamos diciendo que, para cada par de objetos \( x \) e \( y \), existe un tercer objeto (no especificamos si es un átomo o un conjunto)
Por consiguiente, la paradoja de Russell no puede demostrarse en NFA, sus axiomas no afirman que exista el conjunto \( \{x\mid x\notin x\} \) , ya que la fórmula que (supuestamente) lo define no está estratificada.
la definición de ordinal (de ZF o MK) no está estratificada, la teoría de ordinales de von Neumann no funciona bien en NFA, pero en su lugar tenemos una definición alternativa de ordinal que funciona perfectamente y es mucho más fiel a la idea original: un ordinal se define como una clase de equivalencia de conjuntos bien ordenados respecto a la relación de isomorfismo. Eso en ZFC o en MK no funciona bien porque se trataría de una relación de equivalencia sobre una clase propia, y cada clase de equivalencia sería una clase propia, pero en NFA el conjunto de todos los conjuntos bien ordenados
Una puntualización (no necesariamente una corrección) a raiz de un comentario de Argentinator:
El axioma de estratificación dice que las formulas estratificadas necesariamente definen conjuntos, pero eso no implica que algunos objetos sólo definibles mediante formulas no estratificadas no puedan ser conjuntos. No es demasiado claro Holmes en su libro, y es aquí donde mi puntualización ya se transforma en una duda: Cuando se refiere a los ordinales de Von Neumann Holmes afirma que podemos considerar que existen o que no existen. Creo que lo que trata de decir (evitandose usar la palabra "modelo") es que NFU tiene modelos con ordinales de Von Neumann, y otros sin ellos;y que por tanto es conveniente definir los ordinales de otra forma, que es la que comenta Ivorra, para asegurarnos que existen en la teoría (o sea, que existen en todos los modelos de la teoría).
El concepto de ordinal de von Neumann se puede definir en toda teoría de conjuntos entre cuyos teoremas se encuentren el axioma de extensionalidad, la existencia de la unión de dos conjuntos, del complemento de dos conjuntos, del par desordenado de dos conjuntos y del conjunto vacío. No hace falta nada más, en particular no hace falta ningún axioma de formación de conjuntos o subconjuntos a partir de fórmulas.
Todos estos resultados son teoremas de NFA, luego en NFA puedes definir el concepto de ordinal (de von Neumann) e incluso el de número natural (de von Neumann, de modo que , etc.)
Ahora bien, las fórmulas "x es un ordinal" o "x es un número natural" (en este sentido de von Neumann) no están estratificadas y, por ello dan muy poco juego. En NFA no es posible demostrar que exista el conjunto de los números naturales en este sentido (pero sí que se pueden definir de otro modo, estratificado, y todo va bien).
Alguien podría pensar que podríamos haber incorporado el axioma de los átomos a la teoría a la vez que eliminábamos el signo primitivo cto definiendo un átomo como un objeto sin elementos y un conjunto como un objeto con elementos. Eso no es conveniente porque nos interesa que la teoría tenga un conjunto vacío, es decir, un objeto que no tiene elementos y, a pesar de ello, no es un átomo, sino un conjunto. El axioma de extensionalidad implica que el conjunto vacío es el único conjunto sin elementos, pues dos conjuntos vacíos serían dos conjuntos con los mismos elementos (ninguno) y no puede haber dos conjuntos distintos con los mismos elementos. En cambio, el axioma de extensionalidad no afecta a los átomos, por lo que nada impide que haya muchos átomos distintos y que ninguno tenga elementos.
Cabe destacar algunas relaciones obvias que pueden "chirriar" a una mente clásica: \( V\in C,\quad C\in V, \quad V\in V,\quad C\in C \)
(...) el tipo de \( \bigcup X \) y \( \bigcap X \) es siempre una unidad inferior al tipo de \( X \) (...)
\( \bigcup\emptyset = \emptyset,\quad \bigcap\emptyset =V \)
Pienso que para tener el derecho de usar siglas en castellano, necesitamos tener una teoría desarrollada por un matemático hispanoparlante.
Y luego, claro, que esas siglas o nomenclatura se usen en todo el planeta uniformemente.
En realidad la falta de uniformidad es algo que me pone los pelos de punta, porque si hay un lugar donde debe haber acuerdo y falta de ambigüedad es en la matemática.
P.D.: Obviamente que este asunto es el menos importante de todos los que se puedan discutir.
CitarAxioma de los átomos: \( \forall xy(x\in y\rightarrow \text{cto}\,y) \)
En palabras: Si un objeto tiene elementos, entonces es un conjunto o, equivalentemente, los átomos son objetos sin elementos.
Tengo dudas sobre cómo está enunciado esto.
Yo diria que: "un objeto es un conjunto si EXISTE otro objeto que pertenece a él".
Así, escribiría: \( \forall y(\exists{x}(x\in y)\qquad \rightarrow \text{cto}\,y) \).
Por contrarrecíproco sale que un no-conjunto (o átomo) no tiene elementos.
¿Y el \( \emptyset \)? ¿Conjunto o átomo?
CitarA decir verdad, no vamos a tomar el axioma de los átomos como axioma de NFA por una razón muy simple: aunque lo hiciéramos, jamás tendríamos ocasión de usarlo.
Entonces no entiendo dónde se produce la distinción de Jensen entre una teoría que sí tiene átomos.
El uso del operador "cto" en las fórmulas y axiomas debiera ser suficiente, pero deja la puerta abierta a una teoría muy general, que no se sabe si tiene o no tiene algún átomo.
CitarEn palabras: Dos pares ordenados son iguales si y sólo si tienen la misma primera componente y la misma segunda componente.
De este modo, por el mero hecho de introducir el nuevo signo, estamos diciendo que, para cada par de objetos \( x \) e \( y \), existe un tercer objeto (no especificamos si es un átomo o un conjunto)
Tomo nota de este hecho de que los pares ordenados no se sabe si son conjuntos o no.
También se pone en evidencia que siempre se necesita en matemática usar pares o n-uplas ordenadas, aún en las fases más elementales de cualquier teoría, pues se necesitan relaciones y funciones.
CitarPor consiguiente, la paradoja de Russell no puede demostrarse en NFA, sus axiomas no afirman que exista el conjunto \( \{x\mid x\notin x\} \) , ya que la fórmula que (supuestamente) lo define no está estratificada.
Es interesante notar que, mientras en ZFC se prohíben desde los axiomas conjuntos que den lugar a paradojas,
en NFU (o sea NFA, o sea NFU, o sea... :banghead: ) en cambio la prohibición se hace directamente desde el lenguaje.
No sé si a alguien se le había ocurrido antes esto de "meterse con el lenguaje".
A simple vista parece también que la estratificación impide conjuntos que cumplan algo como X = {X}, o sea, se impiden aquellos casos patológicos que en ZFC se suprimen por medio del axioma de regularidad.
¿Estoy acertado en esto? Pues a mí me da que si X tiene cierto tipo \( m \), necesariamente {X} tiene un tipo mayor \( m' \), pero entonces por el primer axioma y por ser X = {X}, se obtiene que X tiene tipo \( m' \), pero X no puede tener asociados dos tipos distintos \( m,m' \).
Otra duda técnica: ¿queda claro de entrada este hecho de que un cierto objeto \( x \) no tiene permitido tener asociados dos tipos distintos en una misma fórmula?
Otra cosa que llama la atención enseguida es que los pares ordenados tienen el mismo tipo que sus componentes.
Eso es algo inesperado para mí, porque uno está acostumbrado a poner en ZFC los pares ordenados como conjuntos que contienen de alguna forma algo enrevesada a sus componentes (\( (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\} \) por ejemplo). El objeto \( \{\{x\},\{x,y\}\} \) tiene tipo 2 veces mayor que el de \( x,y \).
¿Implica necesariamente esto que los pares ordenados en NFU no son conjuntos?
En cuanto a los ordinales de Von Newmann ya lo hemos comentado al principio, que no andan muy bien, pues no ellos necesitarían fórmulas no estratificadas como \( (x\in y)\wedge (x\subset y) \).
La verdad es que en ZFC uno "echa de menos" el enfoque de los cardinales a través de "clases de equivalencia".
En NGB o en MK uno puede definir los cardinales como clases de equivalencia, pero no los puede usar, porque no puede formar "conjuntos cuyos elementos son números cardinales".
Más aún, Carlos ha respondido en parte lo siguiente:CitarEl concepto de ordinal de von Neumann se puede definir en toda teoría de conjuntos entre cuyos teoremas se encuentren el axioma de extensionalidad, la existencia de la unión de dos conjuntos, del complemento de dos conjuntos, del par desordenado de dos conjuntos y del conjunto vacío. No hace falta nada más, en particular no hace falta ningún axioma de formación de conjuntos o subconjuntos a partir de fórmulas.
Todos estos resultados son teoremas de NFA, luego en NFA puedes definir el concepto de ordinal (de von Neumann) e incluso el de número natural (de von Neumann, de modo que , etc.)
Ahora bien, las fórmulas "x es un ordinal" o "x es un número natural" (en este sentido de von Neumann) no están estratificadas y, por ello dan muy poco juego. En NFA no es posible demostrar que exista el conjunto de los números naturales en este sentido (pero sí que se pueden definir de otro modo, estratificado, y todo va bien).
Esta respuesta contiene un hecho interesante.
Es sabido que en el tema de la incompletitud de Godel, la incompletitud surge al pretender utilizar una fórmula que diga algo como "x es un número natural".
Según lo dicho por Carlos, esta frase no existe para ordinales de Von Neumann en NFU.
Me pregunto si hay alguna relación entre estos temas de la estratificación y la incompletitud de Godel.
Mi olfato dice que la incompletitud de Godel sigue firme en NFU, pero bueno, no sé.
En realidad los números naturales y los infinitos siempre traen incomodidades.
Son lo más básico de la matemática, y sin embargo nunca se encuentra una teoría que sea del todo "cómoda" o que exprese o refleje todo lo que hace falta o se desea.
Como yo lo veo, esto es indicio de un problema más profundo, y es que nadie entiende qué son los números naturales ni mucho menos los transfinitos,
por lo cual no puedo admitir que se los utilice despreocupadamente al construir una teoría axiomática.
Este asunto de la estratificación es una idea interesante, pero a mí lo que no me gusta es el hecho de asignarle un número natural o entero a una expresión.
Podría admitirla sin problemas, en cambio, si la cantidad de tipos aceptadas fuera finita, y no todo el rango de los enteros.
Según ví en Wikipedia, NF es equivalente a \( \textsf{NF}_4 \), en que se admiten 4 grados de estratificación como máximo. (Si es que he entendido bien el asunto :banghead: ).
¿Se puede convertir NFU en algo como un \( \textsf{NFU}_4 \), digamos?
En cuanto a lo que pregunté arriba sobre el conjunto vacío, creo que está muy bien explicado acá:CitarAlguien podría pensar que podríamos haber incorporado el axioma de los átomos a la teoría a la vez que eliminábamos el signo primitivo cto definiendo un átomo como un objeto sin elementos y un conjunto como un objeto con elementos. Eso no es conveniente porque nos interesa que la teoría tenga un conjunto vacío, es decir, un objeto que no tiene elementos y, a pesar de ello, no es un átomo, sino un conjunto. El axioma de extensionalidad implica que el conjunto vacío es el único conjunto sin elementos, pues dos conjuntos vacíos serían dos conjuntos con los mismos elementos (ninguno) y no puede haber dos conjuntos distintos con los mismos elementos. En cambio, el axioma de extensionalidad no afecta a los átomos, por lo que nada impide que haya muchos átomos distintos y que ninguno tenga elementos.
Lo siguiente no lo tengo claro:CitarCabe destacar algunas relaciones obvias que pueden "chirriar" a una mente clásica: \( V\in C,\quad C\in V, \quad V\in V,\quad C\in C \)
Yo no tengo una "mente clásica" y sin embargo me chirría igual, porque creí que la fórmula \( V\in V \) no está estratificada. Entonces, ¿cómo es posible escribir eso?
Lo mismo en esto:Citar(...) el tipo de \( \bigcup X \) y \( \bigcap X \) es siempre una unidad inferior al tipo de \( X \) (...)
en contraste con esto otro:Citar\( \bigcup\emptyset = \emptyset,\quad \bigcap\emptyset =V \)
¿Entonces el vacío y el universo no tienen tipo? ¿Cómo se entiende esto?
He llegado hasta el tema de definir funciones en NFU (y de ojeada lo de los ordinales y cardinales).
En cuanto a las funciones, me parece natural preguntar si es posible definir funciones de un conjunto \( A \) en \( \mathcal PA \), pues dominio e imagen tienen tipos distintos en la estratificación.
Es muy natural en álgebra definir un isomorfismo que haga algo como esto:
\( f:A\to\mathcal PA,\quad f(x) = \{x\} \).
¿Se puede hacer esto en NFU? ¿Es muy complicado?
¿Hay algo importante que no estoy entendiendo?
Sí, hay un par de cosas importantes que no estás entendiendo: 1) que los tipos se asignan a nombres y no a conjuntos y 2) que no hay ningún problema en demostrar en NFA fórmulas no estratificadas. La estratificación sólo es un requisito para tomar como axioma la existencia de un conjunto definido por una fórmula. Nada más.
No sé si te has fijado en que en NFA se construyen los números naturales sin necesidad de un axioma de infinitud. ¿A que es curioso?
es decir, que puedes sustituir los infinitos casos particulares del esquema de formación de conjuntos por unos pocos casos particulares concretos (te los podría enumerar, si quieres, pero ahora mismo no los tengo a mano). De ese modo, puedes eliminar por completo el concepto de fórmula estratificada de los axiomas de NFA.
Bueno, gracias por aclarar todas mis dudas.
Bueno, pero y entonces ¿para qué estratificar? Je, je.
Uno podría intentar una forma rebuscada de la paradoja de Russell reetiquetando variables.
Aunque no lo he intentado, y de sólo pensarlo se ve que no se puede hacer esa maldad, porque hay que escribir la fórmula \( x\not\in x \) en la definición del conjunto de Russell.
Citares decir, que puedes sustituir los infinitos casos particulares del esquema de formación de conjuntos por unos pocos casos particulares concretos (te los podría enumerar, si quieres, pero ahora mismo no los tengo a mano). De ese modo, puedes eliminar por completo el concepto de fórmula estratificada de los axiomas de NFA.
Maravilloso. ;D
Mi conclusión es que el tema de estratificar es, en efecto, una sutileza muy grande.
Sigue siendo cierto que es una restricción del lado del lenguaje, pero es más sutil de lo que me imaginaba el principio, pues en nada afecta ni a los objetos de la teoría ni a la forma de ciertos enunciados.
Otra cuestión es que en ZFC, el precio que hay que pagar por evitar las paradojas y el conjunto universal es una larga lista de axiomas. Hay que ir poniendo axiomas para todo: que los pares ordenados, que la unión, que el conjunto potencia, etc.
Todo lo que uno define con cierta función proposicional "tendría que ser" (="uno desearía que sea") un conjunto, y listo.
En cambio en NFU anotaste sólo 3 axiomas muy sencillos y naturales, lo cual me resulta más satisfactorio.
Otra cuestión es que en ZFC, el precio que hay que pagar por evitar las paradojas y el conjunto universal es una larga lista de axiomas. Hay que ir poniendo axiomas para todo: que los pares ordenados, que la unión, que el conjunto potencia, etc.
Todo lo que uno define con cierta función proposicional "tendría que ser" (="uno desearía que sea") un conjunto, y listo.
En cambio en NFU anotaste sólo 3 axiomas muy sencillos y naturales, lo cual me resulta más satisfactorio.
Je, je. Ésa es otra de las virtudes de NFA. Si no tuviera ninguna virtud, sería tonto estudiarla. Ahora, a medida que te familiarizas con la "dama virtuosa" le irás viendo "excentricidades" que al principio pueden parecer simpáticas, pero al final... ya veremos. Hay quienes los amores a primera vista les duran para siempre y hay quienes se desengañan a medida que profundizan en la relación.
sucede que NFA puede extenderse con axiomas que relajen parcialmente los requisitos de estratificación
Con axiomas adicionales conseguimos demostrar que existen "más" conjuntos definibles con fórmulas no estratificadas, eso imagino que resulta útil.
Ahora, si mantenemos los axiomas que ya tenemos, está muy claro que ya tenemos colecciones perfectamente definibles que no existen como conjuntos en NFA (los conjuntos cantorianos, por ejemplo),
la aplicación \( x\longrightarrow{\color{red}\{x\}} \) con dominio el conjunto de todos los átomos. No están estratificadas sus definiciones, no hay el menor síntoma de inconsistencia en la teoría,
pero resulta bastante chocante que el hecho de considerar que las definiciones estratificadas definan conjuntos ya te obliga a que ciertas definiciones no estratificadas no sean conjuntos.
La estratificación está puesta para evitar ante todo que se pueda probar que la colección de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos sea un conjunto
Pero ese tipo de circularidad ya se evita exigiendo que sean de tipos diferentes los 2 términos relacionados, no veo la necesidad de que sean tipos consecutivos y de que se mantengan los tipos de cada variable cuando se forma una fórmula compuesta a partir de 2 atómicas diferentes del tipo \( a \in{b} \).
Tampoco termino de ver la necesidad de igualar el tipo de las variables en relaciones con \( = \),
y en las componentes del par ordenado.
Aunque desde luego esta última no sé si necesaria pero es al menos una forma de evitar la inconsistencia en el momento en que la teoría hay conjuntos no cantorianos: no veo otra forma de prohibir una biyección de la forma \( x\longrightarrow{\{x\}} \) sobre un dominio que sea no cantoriano, y tengo la sospecha que el "capricho" de tener conjunto universal en nuestra teoría y complementario de cada conjunto con respecto al universo también, hace que efectivamente tenga que haber conjuntos no cantorianos (este último parrafo tan sólo son conjeturas)
Sin esas condiciones podrías expresar \( x\notin x \) en la forma \( \exists y (y\notin x\land y = x) \)y la fórmula estaría estratificada (si es que admites que los tipos en [y = x] no necesiten ser iguales, o que cada variable pueda tener un tipo diferente en cada subfórmula).
Eso no es una restricción, en el sentido de una limitación, sino todo lo contrario, algo que te da más posibilidades que si no dispusieras de ello.
CitarSin esas condiciones podrías expresar \( x\notin x \) en la forma \( \exists y (y\notin x\land y = x) \)y la fórmula estaría estratificada (si es que admites que los tipos en [y = x] no necesiten ser iguales, o que cada variable pueda tener un tipo diferente en cada subfórmula).
Pues es verdad. Pero ¿la estratificación es la condición mínima que hay que exigir a una fórmula para que no encierre algún tipo de circularidad, en el caso de fórmulas construidas mediante conectivas lógicas a partir de relaciones \( \in{}] \) e = ?
Lo que no termino de ver es cuando dices refiriendote a la estratificación de los pares ordenados:CitarEso no es una restricción, en el sentido de una limitación, sino todo lo contrario, algo que te da más posibilidades que si no dispusieras de ello.
La no existencia de la función singlete \( x\longrightarrow{{x}} \) en conjuntos no cantorianos salva a la teoría de la inconsistencia claro, en ese sentido da más posibilidades, si no no hay universo, pero la verdad que se hace algo incomodo tener que descartar funciones definibles
¿también se podría, no exigiendo la estratificación a los pares ordenados, camuflar la circularidad de ciertas definiciones usando pares ordenados en la definición ? ¿Encierra quizás por ese motivo la función singlete e \( x\longrightarrow{{x}} \) algún tipo de singularidad?
No sé si en esto último entraríamos ya en la cuestión de la naturaleza del par ordenado: intuitivamente da la sensación de que son átomos más bien, supongo que si es un par ordenado de átomos será atomo y que será conjunto sólo en el caso de que el par sea de conjuntos.
No sé si tienes pensado en tu exposición de NFA tratar un poco más este tema, pero creo sería interesante
lo que se "exige" o "concede" no es que los pares ordenados estén estratificados, sino que estén nivelados, es decir, que su tipo sea el mismo que el de sus componentes
¿también se podría, no exigiendo la estratificación a los pares ordenados, camuflar la circularidad de ciertas definiciones usando pares ordenados en la definición ? ¿Encierra quizás por ese motivo la función singlete \( x\longrightarrow{\{x}\}} \) algún tipo de singularidad?
Citarlo que se "exige" o "concede" no es que los pares ordenados estén estratificados, sino que estén nivelados, es decir, que su tipo sea el mismo que el de sus componentes
Sí, creo que he sido yo el causante de la confusión: cuando decía par ordenado estratificado me refería a par ordenado nivelado . Estratificada o no estratificada está una fórmula, un término en forma de par ordenado está si acaso nivelado, en el caso de que los términos que formen su primera componente y los que formen su segunda componente tengan el mismo tipo. Y a la hora de mirar la estratificación de la fórmula en la que aparezca el par ordenado al par ordenado nivelado le tengo que asignar el tipo de sus componentes. Si en la fórmula aparece un par ordenado no nivelado entonces la fórmula ya no está estratificada. Es así ¿no?
En este caso, envío este mensaje para mencionar sólo, por si resulta de utilidad, que en la entrada http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,53163.msg211927.html#msg211927
en la definición de inclusión, me parece que falta el cuantificador universal para la variable «u», pudiendo confundir al lector.