[llanten]

Hola a todos, les pido su colaboración con el siguiente ejercicio. Gracias.

Dado \( C\subseteq \mathbb { R }^{ n } \) convexo y cerrado. Sea \(  f:\mathbb { R }^{ n }\longrightarrow C \) definida por \( f\left( x \right) =\overline { x }  \), donde \( \overline { x } \) es el único punto de \( C \) tal que \( \left| x-\overline { x }  \right| =d\left( x,C \right)  \). Demostrar que para cualquier \(  x,y\in \mathbb { R }^{ n } \), se cumple que \( \left| f\left( x \right) -f\left( y \right)  \right| \le \left| x-y \right|  \) y por tanto \(  f \) es uniformemente continua.

[Gustavo]

Dado \( C\subseteq \mathbb { R }^{ n } \) convexo y cerrado. Sea \(  f:\mathbb { R }^{ n }\longrightarrow C \) definida por \( f\left( x \right) =\overline { x }  \), donde \( \overline { x } \) es el único punto de \( C \) tal que \( \left| x-\overline { x }  \right| =d\left( x,C \right)  \). Demostrar que para cualquier \(  x,y\in \mathbb { R }^{ n } \), se cumple que \( \left| f\left( x \right) -f\left( y \right)  \right| \le \left| x-y \right|  \) y por tanto \(  f \) es uniformemente continua.

Hola. Considera los diferentes casos posibles para \( x \) e \( y \): ambos están en \( C \), sólo uno está en \( C \), ninguno está en \( C \).

Para el último casi considera el polígono formado por los puntos \( x,\overline x, y,\overline y. \) Nota que los ángulos internos del polígono en los puntos \( \overline x \) e \( \overline y \) son ambos mayores a 90 grados. (Ahí es donde se usa la convexidad de \( C \).) Sobre el polígono, considera las líneas perpendiculares al segmento que conecta \( \overline x \) e \( \overline y \) y que pasan por esos dos puntos. Éstas líneas intersectan el segmento entre \( x \) e \( y \) en dos puntos, digamos \( p \) y \( q \). Luego nota que \( |\overline x-\overline y|\leqslant |p-q| \leqslant |x-y|. \)

[llanten]

Gracias amigo Gustavo. A pesar de tu sugerencia sigo sin entender, puedes explicarme un poco más.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias amigo Gustavo. A pesar de tu sugerencia sigo sin entender, puedes explicarme un poco más.

No digas un "no entiendo" sin más. ¿Qué has intentado? ¿Dónde está tu dificultad? Gustavo te ha indicado que consideres varios casos. ¿Has considerado alguno?¿En que parte te bloqueas?.

Saludos.