Hola

Buenos días, tengo el siguiente ejercicio:

Sea \( A \) una matriz sobre \( \mathbb{C} \) tal que \( chA=(x+1)^6(x-2)^3 \)y \( minA=(x+1)^3(x-2)^2 \). Listar las posibles FCJ para \( A \), y en cada caso escribir las correspondientes formas canónicas racional y racional primaria. Hacer lo mismo para \( chA=(x+1)^7(x-1)^4(x+2) \), \( minA=(x+1)^3(x-1)^2(x+2) \).

Quisiera saber si lo que he hecho estaría bien. Esto sería para el primer caso.

Caso 1.

El polinomio característico es \( p(x)=\color{red}(x+1)^2\color{black}(x-2)^3 \), con raíces \( x=-1 \) y \( x=2 \) y por tanto los valores propios serán \( \lambda_1=-1 \) y \( \lambda_2=2 \).

Como el polinomio mínimo es \( m(x)=(x+1)^3(x-2)^2 \), obtenemos la siguiente información:

Ahí tienes una errata. Supongo que querías poner \( p(x)=\color{red}(x+1)^6\color{black}(x-2)^3 \).

Para \( \lambda_1=-1 \): 
\( m_a(-1)=6 \) y \( m_g(-1)=3 \). Entonces, la FCJ será una cadena de bloques de Jordan de tamaño 6, donde 3 bloques corresponden al valor propio \( -1 \). La forma canónica de Jordan primaria será similar a la FCJ.

No es cierto que la multiplicidad geométrica sea \( 3 \). El polinomio mínimo no da información directa sobre la multiplicidad geométrica, sino sobre el tamaño de la caja más grande asociada al correspondiente autovalor.

Lo que sabemos es que \( -1 \) tiene una caja de Jordan de tamaño  \( 3 \). Dado que en total la multiplicidad algebraica de este autovalor es \( 6 \) las posibles descomposiciones en cajas de Jordan según tamaño son:

\( 3+1+1+1,3+2+1,3+3 \).

Y análogamente \( 2 \) tiene asociada una caja de Jordan de tamaño \( 2 \). Como la multiplicidad algebraica es \( 3 \) necesariamente tenemos una caja de Jordan de tamaño \( 2 \) y otra de tamaño \( 1 \).

Por tanto las posibles formas de Jordan serían \( 3 \):

\( \begin{pmatrix}
-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill  0 &0 &0 &0 \\
\hfill 0 & -1 &\hfill  1 & \hfill 0 &\hfill  0 &\hfill  0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & -1 & \hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 0 & \hfill 0&0 &0 &0 \\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & -\hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &2 &1 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &2 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &2\\
\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}
-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill  0 &0 &0 &0 \\
\hfill 0 & -1 &\hfill  1 & \hfill 0 &\hfill  0 &\hfill  0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & -1 & \hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 1 & \hfill 0&0 &0 &0 \\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & -\hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &2 &1 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &2 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &2\\
\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}
-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill  0 &0 &0 &0 \\
\hfill 0 & -1 &\hfill  1 & \hfill 0 &\hfill  0 &\hfill  0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & -1 & \hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 1 & \hfill 0&0 &0 &0 \\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & -\hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &2 &1 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &2 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &2\\
\end{pmatrix} \)

Saludos.

Hola

Vi que editaste el nombre del canal, supongo para que no aparezca tu nombre real. En ese caso revisa el identificador del canal para modificarlo/ocultarlo también.

Para ser sincero no soy consciente de haber hecho nada a propósito para ocultar mi nombre, aunque tampoco para exhibirlo. Ahora bien, en todos los vídeos en la primera diapositiva que aparece a modo de título aparece mi nombre, así que es absurdo pretender ocultarlo. 

Saludos.

Hola

Buenos días, espero se encuentren muy bien. Aquí solicitando ayuda nuevamente.

Me presentan la función \( f:(\mathbb{R}, d) \rightarrow{} (\mathbb{R}, d)/f(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x-y\in{\mathbb{Q}}\\0 & \text{si}& x-y\in{\mathbb{R-Q}}\end{cases} \)

La distancia utilizada es \( d(x,y)=\begin{cases}{\left |{x-y}\right |}&\text{si}& x-y\in{\mathbb{Q}}\\{1+\left |{x-y}\right |} & \text{si}& x-y\in{\mathbb{R-Q}}\end{cases} \)

1) Les pido ayuda para probar la desigualdad triangular para que d sea métrica.

Ten en cuenta que dado que \( x-z=(x-y)+(y-z) \) el trío \( x-z,x-y,y-z   \) puede ser todo de números irracionales, dos irracionales y un racional o tres racionales (pero nunca dos racionales y un irracional).

Nota además que tal y como está definida \( d \) siempre se cumple que \( d(a,b)\geq |a-b| \).

Entonces:

- Si \( x-z \) es racional:

\( d(x,z)=|x-z|\leq |x-y|+|y-z|\leq d(x,y)+d(y,z) \)

- Si \( x-z \) es irracional, uno de los dos \( x-y \) ó \( y-z \) es irracional y así:

\( d(x,z)=1+|x-z|\leq (1+|x-y|)+|y-z|\leq d(x,y)+d(y,z) \) (si \( x-y \) es irracional)
\( d(x,z)=1+|x-z|\leq |x-y|+(1+|y-z|)\leq d(x,y)+d(y,z) \) (si \( y-z \) es irracional)

2) También les pido ayuda para investigar su continuidad utilizando las bolas de la métrica planteada y cuando está definida con métrica usual en el dominio y codominio.

En primer lugar debe de haber alguna errata en la definición de la función:

\( f(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& \color{red} x-y\in{\mathbb{Q}}\color{black}\\0 & \text{si}& \color{red}x-y\in{\mathbb{R-Q}}\color{black}\end{cases} \)

Supongo que es:

\( f(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& \color{red} x\in{\mathbb{Q}}\color{black}\\0 & \text{si}& \color{red}x\in{\mathbb{R-Q}}\color{black}\end{cases} \)

Veamos la continuidad con la métrica \( d \).

Sea \( x\in \Bbb Q \) y por tanto \( f(x)=1 \). Nota que:

\( B_d(x,1)=\{y\in \Bbb R|d(x,y)<1\}=(x-1,x+1)\cap \Bbb Q  \)

ya que si \( y \) es irracional la diferencia \( x-y \) es irracional y la distancia \( d(x,y) \) es \( \geq 1 \).

Por tanto para todo \( \epsilon>0 \) si \( d(x,y)<1 \) entonces \( f(y)=1 \) y así \( d(f(x),f(y))=0<\epsilon \).

Se tiene continuidad en \( x\in \Bbb Q \)

Si \( x\in \Bbb R-\Bbb Q \), \( f(x)=0 \). Ahora que:

\( B_d(x,1)=\{y\in \Bbb R|d(x,y)<1\}\subset (x-1,x+1)\cap \Bbb R-\Bbb Q  \)

ya que si \( y \) es racional la diferencia \( x-y \) es irracional y la distancia \( d(x,y) \) es \( \geq 1 \).

Por tanto para todo \( \epsilon>0 \) si \( d(x,y)<1 \) entonces \( f(y)=0 \) y así \( d(f(x),f(y))=0<\epsilon \).

Se tiene continuidad en \( x\in \Bbb R-\Bbb Q \)

Te dejo para ti la NO continuidad con la métrica usual.

Saludos.

Hola

Demuestra que \( e = 2 + \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n!\left( n+3\right) } \).

Otra forma:

\( \displaystyle\sum_{n=0}^{ \infty } \dfrac{x^{n+2}}{n! }=x^2\displaystyle\sum_{n=0}^{ \infty } \dfrac{x^{n}}{n! }=x^2e^x \)

Integrando a ambos lados:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{n+2}}{n! }dx=
\displaystyle\int_{0}^{1}x^2e^x \)

\( \displaystyle\sum_{n=0}^{ \infty } \dfrac{1}{(n+3)n! }dx=
\displaystyle\int_{0}^{1}x^2e^x=\ldots=e-2 \)

Saludos.

Hola

 Dejo algunos vídeos cortos sobre las cónicas no degeneradas: su descripción en su forma canónica y sus propiedades. En su momento eran de acceso exclusivo para los alumnos; pero he terminado por hacerlos de acceso público.

1. La elipse en su forma canónica. (5'45'')


2. La hipérbola en su forma canónica. (4'29'')


3. La parábola en su forma canónica. (3'03'')


Saludos.

Hola

 Dejo algunos vídeos cortos sobre transformaciones afines: traslaciones, homotecias e isometrías. En su momento eran de acceso exclusivo para los alumnos; pero he terminado por hacerlos de acceso público.

1. Transformaciones afines. (3'16')


2. Traslaciones. (1'55'')


3. Homotecias. (4'45'')


4. Isometrías. (6'48'')

Hola

 Dejo algunos vídeos cortos sobre ecuaciones de rectas y planos en el plano y en el espacio afín. En su momento eran de acceso exclusivo para los alumnos; pero he terminado por hacerlos de acceso público.

1. Ecuaciones de una recta en el plano. (6'22'')


2. Ecuaciones de rectas y planos en el espacio. (9'45'')


Saludos.

Hola

 Dejo algunos vídeos cortos sobre transformaciones ortogonales en \( \Bbb R^3 \), que hice para mis clases en tiempos de COVID. En su momento eran de acceso exclusivo para los alumnos; pero he terminado por hacerlos de acceso público.

1. Interpretación de la orientación de una base en el espacio. (4'59'')


2. Construcción de la matriz de giro en el espacio. (6'14'')


3. Construcción de simetrías en el espacio. (5'25'')


4. Clasificación de transformaciones ortogonales en \( \Bbb R^3 \) (14'38'')


Saludos.

Hola


 Para probar que \( AO\bot EF \) basta probar que \( \widehat{BAO}+\widehat{AFE}=90^o \).

 Ahora dado que \( \widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^0 \) los puntos \( A,F,E,H \) yacen en una circunferencia de diámetro \( AH \) y así:

\(  \widehat{AFE}=\widehat{AHE}=90^o-\widehat{DAE}=\widehat{DCA}=arco(BA)/2=ang(Tg_A,AO)=90^o-\widehat{BAO} \)

Saludos.

Hola

 De todas formas yo sospecho que debe de haber alguna errata en el enunciado.

Saludos.