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Mensajes - alejandra

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Análisis Funcional - Operadores / Operadores compactos
« en: 08 Febrero, 2018, 08:11 pm »
Sean X,Y espacios de Banach y \( \left\{{T_n}\right\}_\left\{{n\in{\mathbb{N}}}\right\} \) una sucesión de operadores compactos que convergen uniformemente a \( T\in{L(X,Y)} \), entonces T es compacto.

En la mayoría de los libros la demostración dice que como Y es de banach basta probar que \( T(B_X) \) esta contenida en una unión finita de bolas.
Aclaración: \( B_X \) es la bola unitaria cerrada en X

Mi pregunta es la siguiente: Hay que probar que \( \overline{T(B_X)} \) es compacto, qué propiedad está usando el autor para decir que \( \overline{T(B_X)}=T(B_X) \) y de ahi seguir con la demostración?
Gracias

2
Geometría Diferencial - Variedades / Ejemplos
« en: 26 Noviembre, 2017, 01:43 am »
Hola, ¿Cómo están? Necesito encontrar un ejemplo de
a)Aplicación que es conforme pero no es una isometría
b) Aplicación que es isometrica pero no idéntica.
Un saludo y gracias

3
Hola estudiando me ha surgido una duda sobre las definiciones de superficie regular y superficie paramétrica regular;
Para saber si estoy interpretando bien...cuando uno habla de una superficie regular habla de aquella que puede ser cubierta por diferentes aplicaciones que deben cumplir las 3 condiciones (diferenciable, homeomorfismo, condición de regularidad) mientras que una superficie parametrizada regular es aquella la que sólo puede ser cubierta por una sóla aplicación que debe ser diferenciable y cumplir la condición de regularidad.

Ejemplo de superficie regular que no es superficie parametrizada regular:La esfera unidad?
Ejemplo de superficie paramétrizada regular que no es superficie regular: Sea \( a:I\rightarrow{\mathbb{R}} \) una curva parametrizada regular tal que para todo \( t\in{I} \) la curvatura es distinta de cero. Sea la superficie parametrizada \( x(t,u)=a(t)+ua'(t) \). Entonces si restringimos el dominio de x a \( U=\left\{{(t,u)\in{I\times{\mathbb{R}}}u\neq{0}}\right\} \) se transforma en una superficie parametrizada regular pero como su traza consta de dos componentes conexas cuya frontera es \( a(I) \) deja de ser superficie regular ya que la misma presenta autointersecciones en la frontera.

Correcto?

4
Ecuaciones diferenciales / Límite con valor absoluto
« en: 24 Agosto, 2017, 11:49 pm »
Hola debo probar que la función \( f(x)=e^\left\{{-x^2}\right\}\in{S} \) es decir, \( e^\left\{{-x^2}\right\}\in{C^\left\{{\infty}\right\}(\mathbb{R})} \) y que \( \displaystyle\lim_{|x| \to{}\infty}{|x^jf\left\{{^k}(x)|\right\}}\rightarrow{0} \)


Para la primera parte: La función f(x) se la puede escribir como una composición entre la función exponencial \( e^x \) y la función cuadrática \( (-x)^2 \) que al ser continuas y derivables entonces f es continua y si la derivamos k-veces obtenemos \( f^\left\{{k}\right\}(x)=P_k (x)e^\left\{{(-x)^2 }\right\} \), es decir un producto entre un polinomio \( P_k (x) \)de grado k y la función, como ambas son funciones continuas y derivable su producto también entonces \( f\in{C^k (\mathbb{R})} \). Como k es arbitrario, existe la derivada de todos los órdenes y es continua entonces \( f\in{C^\infty (\mathbb{R})} \).


Para la segunda parte me mareo con tantos valores absolutos, cómo lo hago?

5
Topología (general) / Re: Existencia de un teorema
« en: 21 Agosto, 2017, 09:08 pm »
Muchas gracias a todos

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Hola perdon, me falto agregar que h(x) es la funcion que vale 1 cuando x es positivo y 0 en caso contrario

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Análisis Real - Integral de Lebesgue / Absolutamente integrable
« en: 19 Agosto, 2017, 05:45 am »
Hola estoy tratando de probar que la siguiente funcion es absolutamente integrable: Sea n un natural
\( \displaystyle\frac{h(x)e^\left\{{-ax}\right\}x^n}{n!} \)
El problema radica cuando quiero probar que la integral
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{x^n}{n!}<\infty \)
Alguna ayuda?

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Topología (general) / Existencia de un teorema
« en: 19 Agosto, 2017, 05:04 am »
Hola, tengo el siguiente problema: Tengo que probar que una funcion continua y positiva en todos los reales alcanza un máximo. La misma satisface que cuando x tiende a + o - infinito la misma tiende a cero. Existe algún teorema general para probar la existencia del máximo? Estoy pensando en el teorema de Weistrass o el del valor medio pero nose cómo hacerlo...alguna ayuda?

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Ecuaciones diferenciales / Re: Polinomio característico
« en: 15 Agosto, 2017, 09:35 pm »
Hola, muchas gracias por responderme. En un libro encontré que "mediante un cambio forma" se podía pasar de \( \frac{{\partial }}{{\partial x}} \) a \( -2i\pi x \) entonces el polinomio asociado sería
\( P(x)=(-2i\pi x)^2((-2i\pi x)^2-2i(-2i\pi x)-1) \)?

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Ecuaciones diferenciales / Polinomio característico
« en: 13 Agosto, 2017, 04:10 am »
Hola, estoy preparando el final de ecuaciones diferenciales y encontré este ejercicio el cual nosé lo que tengo que hacer, ¿Qué teoría utiliza?
Ejercicio: Determinar el polinomio característico de los siguientes operadores
a) \( P(\frac{{\partial }}{{\partial x}})=\Delta(\Delta-2i\frac{{\partial }}{{\partial x}}-1) \)
Gracias

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Para probar que el producto interno está bien definido debo probar que
\( \displaystyle\int_{A}\left |{f\bar{g}}\right |du<\infty \)

Para ello debemos tener presente que \( \left |{f}\right |y \left |{g}\right | \) son medibles no negetivas y por Hölder \( \displaystyle\int_{A}\left |{f\bar{g}}\right |du<\left\{{\displaystyle\int_{A}\left |{f}^2\right |du}\right\}^\left\{{1/2}\right\}\left\{{\displaystyle\int_{A}\left |{g}^2\right |du}\right\}^\left\{{1/2}\right\}<\infty \)

Para probar que

\( <f,f>=0\Longleftrightarrow{\displaystyle\int_{A}\left |{f}\right |}^2du=sup\left\{{\displaystyle\sum_{F}{\left |{f}\right |}^2:F\subset{A} finito}\right\} \)

Es el supremo de sumas finitas positivas entonces cada suma es 0 así f=0
Correcto?

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Hola, me surgió otra duda cuando lo reescribía...cómo sé que el producto está bien definido? osea qué debo usar para afirmar que \( f\bar{g} \) es integrable?
Además cuando \( \left<{f,f}\right>=0 \) por propiedad de integral \( \left |{f}\right |^2=0 \) ctp luego f=0 ctp. Correcto?

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Hola, me surguió una duda respecto a la demostracion que \( L^2(A) \) tiene estructura de espacio de Hilbert donde A es un conjunto arbitrario y \( L^2(A)=\left\{{f:A\rightarrow{\mathbb{K}},\displaystyle\int_{A}\left |{f}\right |^2du}\right\} \)
Cuando defino que el producto interno es
\( \left<{f,g}\right>=\displaystyle\int_{A}f.\bar{g}du \)
Cómo se prueba que es definida positiva y la parte de hermítica?
Gracias

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Teoría de la Medida - Fractales / Re: Equivalencias
« en: 27 Junio, 2017, 08:30 pm »
si definimos \( \bar{x}=\sum_{a\in A}\langle x,e_{a}\rangle e_{a} \) ocurre que \( \langle x-
[/quote]
Gracias por ayudarme. Mi pregunta es quién sería x? y como podes asegurar que esa suma que es un supremo de sumas finitas converge a [tex]\bar{x} \)?
 

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Teoría de la Medida - Fractales / Equivalencias
« en: 25 Junio, 2017, 12:54 am »
Necesito probar lo siguiente
Sea H un espacio de Hilbert, A un conjunto de índices arbitrario, \( S=\left\{{e_a:a\in{A}}\right\} \) un sistema ortonormal, son equivalentes:

1) S es base ortonormal
2) El subespacio generado por S es denso en H
3) Todo elemento \( x\in{H} \) verifica \( ||x||^2=\displaystyle\sum_{a\in{A}}{|<x,e_a>|^2} \)

Demostración:
1) implica 2) lo pude hacer
2) implica 3) No me sale
3) implica 1) Está bien? Si S no fuera base ortonormal existe \( y\neq{0} \) tal que es ortogonal a S pero por 3)
\( ||y||^2=\displaystyle\sum_{a\in{A}}{|<y,e_a>|^2}=0 \) pero entonces y=0 Absurdo.

Gracias

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Teoría de la Medida - Fractales / Propiedad de Cardinalidad
« en: 18 Junio, 2017, 10:41 pm »
Hola, en la demostración del siguiente teorema:
     "Dos bases ortonormales cualesquiera de un espacio de Hilbert no trivial tienen el mismo cardinal"
Aparece una propiedad de cardinalidad que no sé cómo justificarla, la misma es:
    "\( B=\displaystyle\bigcup_{a\in{A}}B_a \) es unión infinita de conjutos numerables entonces el cardinal de B es menor o igual a infinito por el cardinal de los naturales"
Podrían justificarme esa desigualdad? Gracias

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Hola ¿podrán ayudarme a probar que todo espacio con producto interior admite una compleción como espacio de Hilbert que es única salvo isomorfismos unitarios?
Gracias

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(hay algún paso intermedio que deberías tener claro antes de llegar a la anterior igualdad).


Hola no me doy cuenta cuál es el paso intermedio. Sospecho que debo tratar de probar que las funciones simples que tome coincidan con la funcion \( |f|^2 \) en cada subconjunto F de A pero no sé cómo escribirlo.
Gracias

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por tanto existe a lo sumo una cantidad numerable de elementos \( a\in A \) tales que \( f(a)\neq 0. \) Esto da sentido a la igualdad

\( \displaystyle\sup\Big\{\sum_{a\in J}|f(a)|^{2}:\,J\text{ es finito}\Big\}=\sum_{a\in A}|f(a)|^{a}, \)


Por qué deduce que existe a lo sumo una cantidad numerable de elementos \( a\in A \) tales que \( f(a)\neq 0. \)? Yo eso lo deduzco escribiendo  \( L=\left\{{a\in A:f(a)\neq 0}\right\} \) como union numerable de conjuntos finitos.
La definición de suma generalizada es
\( \displaystyle\sup\Big\{\sum_{a\in J}|f(a)|^{2}:\,J\text{ es finito}\Big\}=\sum_{a\in A}|f(a)|^{2}, \)
Por qué dice lo último para deducir la definión?

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Hola quiero probar que dado H un espacio de Hilbert,  A un conjunto arbitrario (no necesariamente finito), un espacio de medida (A,P(A),u) donde P(A) partes de A, u es la medida cardinal sobre A, defino el conjunto \( l^2(A)=\left\{{f:A\rightarrow{\mathbb{K}}: f \textrm{  medible} \displaystyle\int_{A}^{}|f|^2du<\infty}\right\} \) Quiero probar que \( \displaystyle\int_{A}^{}|f|^2du=\displaystyle\sum_{a\in{A}}{|f(a)|^2} \)
Podrían ayudarme?
GRacias

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