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Temas - alejandra

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Análisis Funcional - Operadores / Operadores compactos
« en: 08 Febrero, 2018, 08:11 pm »
Sean X,Y espacios de Banach y \( \left\{{T_n}\right\}_\left\{{n\in{\mathbb{N}}}\right\} \) una sucesión de operadores compactos que convergen uniformemente a \( T\in{L(X,Y)} \), entonces T es compacto.

En la mayoría de los libros la demostración dice que como Y es de banach basta probar que \( T(B_X) \) esta contenida en una unión finita de bolas.
Aclaración: \( B_X \) es la bola unitaria cerrada en X

Mi pregunta es la siguiente: Hay que probar que \( \overline{T(B_X)} \) es compacto, qué propiedad está usando el autor para decir que \( \overline{T(B_X)}=T(B_X) \) y de ahi seguir con la demostración?
Gracias

2
Geometría Diferencial - Variedades / Ejemplos
« en: 26 Noviembre, 2017, 01:43 am »
Hola, ¿Cómo están? Necesito encontrar un ejemplo de
a)Aplicación que es conforme pero no es una isometría
b) Aplicación que es isometrica pero no idéntica.
Un saludo y gracias

3
Hola estudiando me ha surgido una duda sobre las definiciones de superficie regular y superficie paramétrica regular;
Para saber si estoy interpretando bien...cuando uno habla de una superficie regular habla de aquella que puede ser cubierta por diferentes aplicaciones que deben cumplir las 3 condiciones (diferenciable, homeomorfismo, condición de regularidad) mientras que una superficie parametrizada regular es aquella la que sólo puede ser cubierta por una sóla aplicación que debe ser diferenciable y cumplir la condición de regularidad.

Ejemplo de superficie regular que no es superficie parametrizada regular:La esfera unidad?
Ejemplo de superficie paramétrizada regular que no es superficie regular: Sea \( a:I\rightarrow{\mathbb{R}} \) una curva parametrizada regular tal que para todo \( t\in{I} \) la curvatura es distinta de cero. Sea la superficie parametrizada \( x(t,u)=a(t)+ua'(t) \). Entonces si restringimos el dominio de x a \( U=\left\{{(t,u)\in{I\times{\mathbb{R}}}u\neq{0}}\right\} \) se transforma en una superficie parametrizada regular pero como su traza consta de dos componentes conexas cuya frontera es \( a(I) \) deja de ser superficie regular ya que la misma presenta autointersecciones en la frontera.

Correcto?

4
Ecuaciones diferenciales / Límite con valor absoluto
« en: 24 Agosto, 2017, 11:49 pm »
Hola debo probar que la función \( f(x)=e^\left\{{-x^2}\right\}\in{S} \) es decir, \( e^\left\{{-x^2}\right\}\in{C^\left\{{\infty}\right\}(\mathbb{R})} \) y que \( \displaystyle\lim_{|x| \to{}\infty}{|x^jf\left\{{^k}(x)|\right\}}\rightarrow{0} \)


Para la primera parte: La función f(x) se la puede escribir como una composición entre la función exponencial \( e^x \) y la función cuadrática \( (-x)^2 \) que al ser continuas y derivables entonces f es continua y si la derivamos k-veces obtenemos \( f^\left\{{k}\right\}(x)=P_k (x)e^\left\{{(-x)^2 }\right\} \), es decir un producto entre un polinomio \( P_k (x) \)de grado k y la función, como ambas son funciones continuas y derivable su producto también entonces \( f\in{C^k (\mathbb{R})} \). Como k es arbitrario, existe la derivada de todos los órdenes y es continua entonces \( f\in{C^\infty (\mathbb{R})} \).


Para la segunda parte me mareo con tantos valores absolutos, cómo lo hago?

5
Análisis Real - Integral de Lebesgue / Absolutamente integrable
« en: 19 Agosto, 2017, 05:45 am »
Hola estoy tratando de probar que la siguiente funcion es absolutamente integrable: Sea n un natural
\( \displaystyle\frac{h(x)e^\left\{{-ax}\right\}x^n}{n!} \)
El problema radica cuando quiero probar que la integral
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\displaystyle\frac{x^n}{n!}<\infty \)
Alguna ayuda?

6
Topología (general) / Existencia de un teorema
« en: 19 Agosto, 2017, 05:04 am »
Hola, tengo el siguiente problema: Tengo que probar que una funcion continua y positiva en todos los reales alcanza un máximo. La misma satisface que cuando x tiende a + o - infinito la misma tiende a cero. Existe algún teorema general para probar la existencia del máximo? Estoy pensando en el teorema de Weistrass o el del valor medio pero nose cómo hacerlo...alguna ayuda?

7
Ecuaciones diferenciales / Polinomio característico
« en: 13 Agosto, 2017, 04:10 am »
Hola, estoy preparando el final de ecuaciones diferenciales y encontré este ejercicio el cual nosé lo que tengo que hacer, ¿Qué teoría utiliza?
Ejercicio: Determinar el polinomio característico de los siguientes operadores
a) \( P(\frac{{\partial }}{{\partial x}})=\Delta(\Delta-2i\frac{{\partial }}{{\partial x}}-1) \)
Gracias

8
Hola, me surguió una duda respecto a la demostracion que \( L^2(A) \) tiene estructura de espacio de Hilbert donde A es un conjunto arbitrario y \( L^2(A)=\left\{{f:A\rightarrow{\mathbb{K}},\displaystyle\int_{A}\left |{f}\right |^2du}\right\} \)
Cuando defino que el producto interno es
\( \left<{f,g}\right>=\displaystyle\int_{A}f.\bar{g}du \)
Cómo se prueba que es definida positiva y la parte de hermítica?
Gracias

9
Teoría de la Medida - Fractales / Equivalencias
« en: 25 Junio, 2017, 12:54 am »
Necesito probar lo siguiente
Sea H un espacio de Hilbert, A un conjunto de índices arbitrario, \( S=\left\{{e_a:a\in{A}}\right\} \) un sistema ortonormal, son equivalentes:

1) S es base ortonormal
2) El subespacio generado por S es denso en H
3) Todo elemento \( x\in{H} \) verifica \( ||x||^2=\displaystyle\sum_{a\in{A}}{|<x,e_a>|^2} \)

Demostración:
1) implica 2) lo pude hacer
2) implica 3) No me sale
3) implica 1) Está bien? Si S no fuera base ortonormal existe \( y\neq{0} \) tal que es ortogonal a S pero por 3)
\( ||y||^2=\displaystyle\sum_{a\in{A}}{|<y,e_a>|^2}=0 \) pero entonces y=0 Absurdo.

Gracias

10
Teoría de la Medida - Fractales / Propiedad de Cardinalidad
« en: 18 Junio, 2017, 10:41 pm »
Hola, en la demostración del siguiente teorema:
     "Dos bases ortonormales cualesquiera de un espacio de Hilbert no trivial tienen el mismo cardinal"
Aparece una propiedad de cardinalidad que no sé cómo justificarla, la misma es:
    "\( B=\displaystyle\bigcup_{a\in{A}}B_a \) es unión infinita de conjutos numerables entonces el cardinal de B es menor o igual a infinito por el cardinal de los naturales"
Podrían justificarme esa desigualdad? Gracias

11
Hola ¿podrán ayudarme a probar que todo espacio con producto interior admite una compleción como espacio de Hilbert que es única salvo isomorfismos unitarios?
Gracias

12
Hola quiero probar que dado H un espacio de Hilbert,  A un conjunto arbitrario (no necesariamente finito), un espacio de medida (A,P(A),u) donde P(A) partes de A, u es la medida cardinal sobre A, defino el conjunto \( l^2(A)=\left\{{f:A\rightarrow{\mathbb{K}}: f \textrm{  medible} \displaystyle\int_{A}^{}|f|^2du<\infty}\right\} \) Quiero probar que \( \displaystyle\int_{A}^{}|f|^2du=\displaystyle\sum_{a\in{A}}{|f(a)|^2} \)
Podrían ayudarme?
GRacias

13
Hola estoy tratando de demostrar que dado H un espacio de Hilbert, un subespacio cerrado M de H puedo escribir a H como suma directa de M con el subespacio ortogonal a M, lo llamo \( M^\perp{} \).
Para ello tuve que mostrar los siguientes:
1) Dado \( x\in{H},\exists!{y_x\in{M}}:||x-y_x||=inf\left\{{||x-m||:m\in{M}}\right\} \)
2)\( x-y_x\in{M^\perp{}} \)
3) \( M\cap{M^\perp{}}=\left\{{0}\right\} \)
Como \( x=y_x+x-y_x\in{M+M^\perp{}} \) y al ser x es arbitrario entonces \( M\oplus{M^\perp{}}=H \)

Una vez que demuestro lo dicho, defino una aplicación, \( P_M:H\rightarrow{M} \) dada por \( P_M(x)=y_x \) y quiero probar que es una proyección ortogonal, es decir:
1) \( P_M \) lineal (no me sale)
2) Sobre
3) núcleo es \( M^\perp{} \)
4) Idempotente
5) Ortogonalidad

Podrían ayudarme con la linealidad? Hago el dibujo de un paralelogramo, hago las proyecciones y solo me doy cuenta que se forman triangulos semenjantes pero cómo hago para probar que \( P_M(x+y)=P_M(x)+P_M(y) \)?
La ortogonalidad resulta de la definición? osea, de que dado x en H me envía a un elemento de M que verifica que \( (x-y_x,y_x)=0 \)
Gracias :)

14
Geometría Diferencial - Variedades / Ejemplo de superficie
« en: 17 Febrero, 2017, 08:52 pm »
Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio: Dar un ejemplo de
a) una superficie parametrizada regular que no sea una superficie regular
b) una superficie regular que no sea una superficie parametrizada regular

Gracias

15
Ecuaciones diferenciales / Ecuación de la cuerda vibrante
« en: 17 Febrero, 2017, 05:23 pm »
Podrán ayudarme a resolver el siguiente ejercicio?

Encontrar una función \( u(x,t) \) que sea solución de la ecuación de las cuerdas
\( c^2_{xx}=u_{tt}, 0<x<h,\forall{t} \) con condiciones en los límites \( u_x(0,t)=u_x(h,t)=0 \) con condiciones iniciales \( u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=g(x) \)

gracias!!

16
Estructuras algebraicas / Propiedad universal del cociente
« en: 01 Diciembre, 2016, 12:34 am »
Hola, estoy intentando resolver el siguiente ejercicio:
K un cuerpo, \( f:\mathbb{Z}\rightarrow{K} \) un epimorfismo de anillos. Probar que K es isomorfo a \( \mathbb{Z_p} \) para algún p entero primo.

Bueno, quería usar la propiedad universal del cociente pero necesito para ello que el núcleo de f sea de la forma pZ para algún p primo. ¿Y cómo me aseguro eso?

Gracias

17
Estructuras algebraicas / No sé cómo usar la hipótesis
« en: 28 Noviembre, 2016, 09:49 pm »
Hola como están? Podrían ayudarme con este ejercicio?

Demuestre que una condición necesaria para que un submódulo N de un R-módulo M sea un sumando directo de M es que M/N sea isomorfo a un submódulo de M.

Demostración:
Probemos que \( M=N\oplus{K} \) donde N y K son dos submódulos de M.
Una contención sale, porque N,K son dos submódulos de M y M es cerrado para la suma entonces si \( n\in{N\subset{M}},k\in{K\subset{M}},n+k\in{M} \)

Si supongo que K es isomorfo a M/N cuando realizo \( M/N\cap{N}\neq{\left\{{0}\right\}} \) entonces no sé como usar la hipotesis...
Gracias

18
Estructuras algebraicas / Isomorfismo de anillos
« en: 25 Noviembre, 2016, 10:35 pm »
Hola, intento resolver este ejercicio...Sea K un cuerpo, entonces se tiene el isomorfismo de anillos \( K[\mathbb{Z_n}]\approx{\displaystyle\frac{K[\mathbb{X}]}{\left<{x^n-1}\right>}} \)

¿Cómo lo puedo resolver?
Usando que K es cuerpo me aseguro que ese cociente es anillo. ¿Pero cuál sería la función?
Gracias

19
Hola podrían ayudarme con el siguiente ejercicio?
Sea R un anillo y S un conjunto arbitrario se define el conjunto \( L_R(S)=\displaystyle\sum_{s\in{S}}{r_s.s/r_s=0 \textrm{salvo n número finito de s's}} \)
probar que \( L_R(S) \) es un R-módulo a izquierda.

Tengo que probar que:
1) \( L_R(S) \) es un grupo abeliano con la suma
2) Definir la operación externa y ver que se cumplen una seguidilla de propiedades

Pude probar que \( L_R(S) \) es cerrada para la suma de la siguiente manera
Dados \( m,n\in{L_R(S)} \) entonces existen \( r_{s_1},...,r_{s_p},r_{t_1},...,r_{t_q}\in{R^*},s_1,...,s_p,t_1,...,t_q\in{S} \) con \( p,q\in{\mathbb{N}} \) tales que \( m=r_{s_1}s_1+...+r_{s_p}s_p,n=r_{t_1}t_1+...+r_{t_q}t_q \)
Luego \( m+n=r_{s_1}s_1+...+r_{s_p}s_p+r_{t_1}t_1+...+r_{t_q}t_q\in{L_R(S)} \)

Cómo demuestro la asociativa? si no sé que cumple S?
El resto aun no lo pensé, sólo pregunto por el punto 1)
Gracias.


20
Estructuras algebraicas / Probar que es automorfismo
« en: 18 Noviembre, 2016, 03:55 pm »
Hola, ¡buenos días! ¿Podrían ayudarme con este ejercicio?
Sea M un R-módulo y \( f\in{End_R(M)} \). Demuestre que si f es un epimorfísmo y existe un natural n tal que \( ker(f^n)=Ker(f^{n+1}) \) entonces f es un automorfismo.

Un saludo

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