Hola
Por favor alguien que me ayude con el siguiente ejercicio.
Cosideremos los espacios topológicos \( X=(\bigcup_{n=0}^{\infty} [3n,3n+1) )\cup (\bigcup_{n=0}^{\infty}\{3n+2\}) \), e \( Y=(\bigcup_{n=0}^{\infty} (3n,3n+1) )\cup (\bigcup_{n=0}^{\infty}\{3n+2\}) \). Encontrar \( f:X\to Y \) y \( g:Y\to X \) funciones continuas tal que \( X \), \( Y \) no sean homeomorfos.
¿Estás seguro de qué el enunciado es así?.
La frase "encontrar una función continua tal que dos espacios no sean homeomorfos" no tiene demasiado sentido. Que \( X \) e \( Y \) no sean homeomorfos no depende de que uno pueda dar una determinada función continua en entre ellos, sino de que sea imposible dar un homeomorfismo entre ellos, que es bien distinto.
En tu caso y tal como está redactado basta dar un par de funciones constantes que con toda seguridad y con cualquier topología son continuas.
Por otra parte (y eso no tiene nada que ver con las funciones dadas antes) los espacios \( X \) e \( Y \) no son homeomorfos. Si lo fuesen tendrían que ser homeomorfas sus componentes conexas.
Pero las componentes conexas con un número infinito de puntos de \( X \) son intervalos del tipo \( [a,b) \), mientras que las de \( Y \) son del tipo \( (c,d) \); si a la primera le quitamos el punto \( a \) nos sigue quedando un conexo; sin embargo a la segunda le quitamos cualquier punto se pierde la conexidad. Por tanto no son homeomorfas.
Saludos.
